Commit 545ba880 authored by Anatole Dahan's avatar Anatole Dahan
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Merci William, plus que deux preuves incomplètes (Théorèmes 4 et 5).

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......@@ -324,10 +324,24 @@ Soit $X$ un espace topologique. Sont équivalents : \begin{enumerate}[(a)]
$(a) \Rightarrow (b)$ : On a déjà vu que $X$ est $T_1$ et régulier car métrisable. Soit $d$ une distance compatible et $(x_n)$ une suite dense. Alors, $B_d(x_n,\frac{1}{p+1})_{n\in\omega,p\in\omega}$ est une base dense.
$(b) \Rightarrow (a)$ : On a vu que $X$ est séparable car à base dénombrable. Par le lemme précédent, $X$ est normal. Soit $(O_n)$ une base dénombrable de $X$. Si $x\in O_n$, $\exists m\in\omega, x\in O_m\subseteq\overline{O_m}\subseteq O_n$ car $X$ régulier.
Posons $I = \{(m,n)\tq \overline{O_m}\subseteq O_n\}$. Si $m,n\in I$, par le lemme d'Urysohn, il existe $f_{m,n} : X\to [0,1]$ telle que $(f_{m,n})_{|O_m} \equiv 0$ et $(f_{m,n}) _{|\lnot O_n} \equiv 1$. Notons que $x\in O_n\iff \exists m, f_{m,n}(x)<1$
Posons $I = \{(m,n)\tq \overline{O_m}\subseteq O_n\}$. Si $m,n\in I$, par le lemme d'Urysohn, il existe $f_{m,n} : X\to [0,1]$ telle que $(f_{m,n})_{|O_m} \equiv 0$ et $(f_{m,n}) _{|\lnot O_n} \equiv 1$. Notons que $x\in O_n\iff \exists m, f_{m,n}(x)<1$%TODO
\end{proof}
\begin{defi}
Soit $X$ un espace topologique et $\mathscr{U}, \mathscr{V}$ des recouvrements de $X$. On dit que $\mathscr{V}$ est un \emph{raffinement} de $\mathscr{U}$ lorsque $\forall V\in\mathscr{V}, \exists U\in\mathscr{U}, V\subseteq U$.
\end{defi}
\begin{defi}
Soit $X$ un espace topologique et $\mathscr{F}$ une famille de parties de $X$. $\mathscr{F}$ est \emph{localement fini} lorsque $\forall x\in X, \exists V\in \mathcal{V}_x$ tel que $\{F\in\mathscr{F}|V\cap F\neq\varnothing\}$ est fini.
\end{defi}
\begin{lem}
Soit $(X, d)$ un espace métrique séparable et $\mathscr{U}$ une famille d'ouverts non vides de $X$. Alors $\mathscr{U}$ a un raffinement localement fini $\mathscr{V}$.
\end{lem}
\begin{proof}
Soit $(O_n)$ une suite d'ouverts de $X$ telle que $\bigcup O_n = \bigcup\mathscr{U}$ et $\forall n\in\omega, \exists U\in\mathscr{U}, O_n\subseteq U$. Si de plus on a $\eta>0$, on peut supposer que $\forall n\in\omega, \text{diam}(O_n)<\eta$. On peut écrire $O_n = \bigcup_{p\in\omega}O_p^n$$O_p^n$ est un ouvert vériant $\overline{O_p^n}\subseteq O_n$ et $O_p^n\subseteq O_{p+1}^n$. On pose alors $V_m := O_m\\\left(\bigcup_{n<m}\overline{O_m^n}\right)$. Notons que $\bigcup_{n\in\omega} V_n=\bigcup_{n\in\omega} O_n$. En effet, soit $x\in O_n$, et soit $m$ minimal tel que $x\in O_m$. Alors $x\in V_m$. Si $x\in O_n$, alors il existe $p\in\omega$ tel que $x\in O_p^n$, donc si $m>p,n$ on a que $x\not\in V_m$. Il reste alors a prendre $\mathscr{V} := \{V_m|V_m\neq\varnothing\}$.
\end{proof}
\setcounter{section}{6}
%%TODO
\section{Compacité}
C'est une notion de petitesse.
......@@ -346,7 +360,7 @@ Ainsi, tout espace fini est compact.
Soit $X$ un espace compact séparé. Alors $X$ est régulier.
\end{thm}
\begin{proof}
Soit $x\in X$, $N$ un voisinage ouvert de $x$. Si $y\not\in N$, $\exists O_y,V_y$ ouverts disjoints tels que $x\in O_y, y\in V_y$ car $X$ séparé. $(V_y)_{y\not\in N}$
Soit $x\in X$, $N$ un voisinage ouvert de $x$. Si $y\not\in N$, $\exists O_y,V_y$ ouverts disjoints tels que $x\in O_y, y\in V_y$ car $X$ séparé. $(V_y)_{y\not\in N}$ %TODO
\end{proof}
\begin{exo}
Montrer que tout compact séparé est normal
......
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