Commit f8d73173 authored by Anatole Dahan's avatar Anatole Dahan
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Ajout du cours d'aujourd'hui (28/02). Possiblement fait un changement...

Ajout du cours d'aujourd'hui (28/02). Possiblement fait un changement d'encodage (vers l'utf-8) donc pour le mieux
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......@@ -1771,4 +1772,181 @@ Soient $X$ de type 0 ou 1, $Y$ de type 0, $S\subseteq X\times Y$ semi-récursive
Soit $R\subseteq X\times Y\times \omega$ récursif tel que $S = \exists^\omega R$. Posons $Y = \omega^k$. Posons \[S^*(x,y)\iff\exists n\in\omega R(x,y,n)\land \forall m< <y_0,\dots,y_{k-1},n>,\lnot R(x,(m)_0,\dots,(m)_k)\]
$S^*$ est semi-récursif, $S^*\subseteq S$. Si $S^*(x,y)$ et $S^*(x,y')$, alors $\exists n,n'\in \omega R(x,y,n),R(x,y',n')$ et $\lnot R(x,(m)_0,\dots,(m)_k)$ si $m<<y_0,\dots,y_{k-1},n>$ ou $m<<y'_0,\dots y'_{k-1},n'>$. Donc $y$ et $y'$ et $S^*$ est le graphe d'une fonction. Si $x\in \exists^YS$, alors $\exists y\in Y,\exists n\in\omega, R(x,y,n)$. On choisit $y$ et $n$ tels que $<(y)_0,\dots,(y)_{k-1},n>$ soit minimal. Alors $f(x)$ est défini et $f(x) = y$. Si $\exists^Y S = X$, $f(x) \in N(Y,n)\iff \exists m, (x,((m)_0,\dots,(m)_{k-1}))\in S^*$ et $((m)_0,\dots,(m)_{k-1})\in N(Y,n)$.
\end{proof}
\begin{exi}
Montrer que les fonctions suivantes sont récursives :
\begin{itemize}
\item $f : \mathcal N\times \omega \to \omega$ définie par $f(\alpha,n) := \overline \alpha(n) := <\alpha(0),\dots,\alpha(n-1)>$
\item $<\cdot,\cdot> : \mathcal N\times \mathcal N \to N$ définie par :
$\begin{array}{|cccc}
&<\alpha,\beta>(2n) & := & \alpha(n) \\
&<\alpha,\beta>(2n +1)& := & \beta(n)
\end{array}$
\item $(\cdot)_\cdot : \mathcal N \times \omega \to \mathcal N$ définie par $(\alpha)_i (n) := \alpha(<i,n>)$
\item $\cdot^* : \mathcal N \to \mathcal N$ définie par $\gamma^* := (\gamma(1),\gamma(2),\dots)$ (on oublie $\gamma(0)$).
\end{itemize}
\end{exi}
\begin{prop}
La classe des ensembles semi-récursifs est close par substitution récursive.
\end{prop}
\begin{proof}
Soient $X,Y$ basiques, $f : X\to Y$ récursive, $S\subseteq Y$ semi-récursif de témoin $S^*\subseteq \omega$. Alors,
\[S(f(x))\iff \exists n\in S^*, f(x) \in N(Y,n)\]
\end{proof}
\begin{prop}
Soient $X,Y$ polonais r.p.,
$P_0 := X\times Y$ muni de la structure basique définie par la présentation récursive produit,
$P_1 := X\times Y$ muni de la structure basique produit des structures basiques venant des présentations récursives sur chaque facteur.\\
Alors, $P_0$ et $P_1$ sont récursivement isomorphes.
\end{prop}
\begin{proof}
Montrons que l'identité est un isomorphisme récursif. Soit, pour $\varepsilon\in 2$, $(N_\varepsilon(X\times Y,n))_{n\in\omega}$ venant de la structure basique sur $P_\varepsilon$.
\begin{align*}
(x,y)\in N_0(X\times Y,n)
&\iff (x,y)\in B\left((x,y)_{(n)_0}, \frac{(n)_1}{(n)_2 +1}\right)\\
&\iff (x,y)\in B\left((x_{\left((n)_0\right)_0},y_{\left((n)_0\right)},\frac{(n)_1}{(n)_2 +1}\right)\\
&\iff x\in N\left(X,<\left((n)_0\right)_0,(n)_1,(n)_2>\right)\land y\in N\left(Y,<\left((n)_0\right)_1,(n)_1,(n)_2>\right)\\
&\iff (x,y)\in N_1 \left(X\times Y, <<((n)_0)_0,(n)_1,(n)_2>,<((n)_0)_1,(n)_1,(n)_2>>\right)\\
&\iff \exists p\in \omega, (x,y)\in N_1(X\times Y,p)\land p = <<((n)_0)_0,(n)_1,(n)_2>,<((n)_0)_1,(n)_1,(n)_2>>
\end{align*}
Donc $\Id : P_1\to P_0$ est récursive.
Ceci montre que $x\in N(X,n)\iff \exists p\in\omega, (x,y)\in N_0(X\times Y,p)\land n = <((p)_0)_0,(p)_1,(p)_2>$ donc la projection de $P_0$ sur $X$ (ou $Y$) est récursive.
\[ (x,y)\in N_1(X\times Y,n)\iff x\in N(x,(n)_0)\text{ et }y\in N(Y,(n)_1)\]
\end{proof}
\section{Espaces polonais récursifs}
\begin{defi}
Un espace basique est \emph{polonais récursif} s'il est récursivement isomorphe à un espace basique défini par une présentation récursive.
\end{defi}
\begin{thm}
Soit $X$ polonais récursif non vide. Alors, $\exists \pi : \mathcal N \to X$ récursive surjective.
\end{thm}
\begin{proof}
On peut supposer $X$ r.p., ce qui donne $(x_n)$ dense.
$\alpha\in\mathcal N\mapsto (x^\alpha_n)_{n\in\omega} \in X^\omega$ définie par $x^\alpha_0 := x_{\alpha(0)}$ et
\[x^\alpha_{n+1} := \begin{cases}
x_{\alpha(n+1)}\text{ si }d(x^\alpha_n,x_{\alpha(n+1)}<2^{-n}\\
x^\alpha_n\qquad\text{ sinon}
\end{cases}\]
Notons que $d(x^\alpha_n,x^\alpha_{n+1}) < 2^{-n}$, donc $(x^\alpha_n)$ est de Cauchy, donc converge vers $\pi(\alpha)\in X$.
On vérifie que $\pi$ définie ainsi est récursive.
Si $x\in X$, soit $\alpha(n) := \min\{k\in \omega\}\tq d(x,x_k) < 2^{-n-1}\}$ ;
alors on vérifie que $\pi(\alpha) = lim_{n\to\infty} x_{\alpha(n)} = x$.
\end{proof}
\section{Les classes de Kleene}
Les \emph{classes de Kleene} sont des classes de sous-ensembles des polonais récursifs. Pour $n\in\omega$,
\[
\begin{array}{c|c}
\mathit\Sigma^0_1 := \text{ semi-récursifs}
& \mathit\Sigma^1_1 := \exists^{\mathcal N}\mathit\Pi^0_1\\
& \\
\mathit\Pi^0_n := \check{\mathit\Sigma}^0_n
& \mathit\Pi^0_1 := \check{\mathit\Sigma}^1_n\\
& \\
\mathit\Sigma^0_{n+1} := \exists^\omega \mathit\Pi^0_n
& \mathit\Sigma^1_{n+1} := \exists^{\mathcal N} \mathit\Pi^1_n\\
& \\
\mathit\Delta^0_n := \mathit\Sigma^0_n\cap \mathit\Pi^0_n
& \mathit\Delta^1_n := \mathit\Sigma^1_n \cap \mathit\Pi^1_n\\
\end{array}
\]
On peut \emph{relativiser} les classes de Kleene comme suit.
Si $\mathit\Gamma$ est une classe de sous-ensembles des polonais récursifs, $X$ est polonais récursif, $x\in X$, $Y$ polonais récursif et $P\subseteq Y$, on dit que $P$ est dans la \emph{relativisation} $\mathit\Gamma(x)$ de $\mathit\Gamma$ à $x$ s'il existe $Q\in \mathit\Gamma(X\times Y)$ tel que $P = Q_x$.
Ceci définit $\mathit\Sigma^0_n(x),\mathit\Pi^0_n(x), \mathit\Sigma^1_n(x),\mathit\Pi^1_n(x)$.
Par définition, $\mathit\Delta^0_n(x) := \mathit\Sigma^0_n(x)\cap \mathit\Pi^0_n(x)$. Ce n'est PAS la relativisation de $\mathit\Delta^0_n$ à $x$.
En pratique, les énoncés pour les classes effectives s'adaptent sans problème aux classes avec paramètre, et pour alléger l'écriture, on fait les preuves dans le cas effectif. En toute rigueur, il faut vérifier qu'il n'y a pas de problème.
\begin{defi}
Une classe de sous-ensembles des polonais récursifs est dite \emph{adéquate} si elle contient les récursifs, et est close par substitution récursive, $\lor$, $\land$, $\exists^\le$ et $\forall^\le$.
\end{defi}
\begin{thm}
Soit $\mathit\Gamma$ adéquate.
Alors $\check {\mathit\Gamma}$, $\exists^\omega \mathit\Gamma$, $\forall^\omega \mathit\Gamma$, $\exists^{\mathcal N} \mathit\Gamma$, $\forall^{\mathcal N} \mathit\Gamma$ sont adéquates.
De plus, $\exists^\omega \mathit\Gamma$ est close par $\exists^\omega$, $\forall^\omega\mathit\Gamma$ est close par $\forall^\omega$, $\exists^{\mathcal N}\mathit\Gamma$ est close par $\exists^Y$ pour $Y$ polonais récursif, $\forall^{\mathcal N}\mathit\Gamma$ est close par $\forall^Y$ pour $Y$ polonais récursif.
\end{thm}
\begin{proof}
Il suffit de le faire pour $\exists^\omega\mathit\Gamma,\exists^{\mathcal N}\mathit\Gamma$.
Soit $R\subseteq X$ récursif. Posons $P(x,n)\iff R(x)$, de sort que $P$ est récursive. Donc $P\in \mathit\Gamma(X\times\omega)$, et $R = \exists^\omega P\in \exists^\omega \mathit\Gamma$.
Si $f : X\to Y$ est récursive et $P\in\mathit\Gamma(Y\times\omega)$, alors
\[f(x)\in\exists^\omega P \iff \exists p\in\omega, P(f(x),p)\]
donc $\exists^\omega \mathit\Gamma$ est close par substitution récursive.
Si $P,Q\in\mathit\Gamma(X\times\omega)$, $x\in \exists^\omega P\cup\exists^\omega Q\iff \exists p\in\omega, P(x,p)\lor Q(x,p)$ donc $\exists^\omega \mathit\Gamma$ est close pour $\lor$. De plus, $x\in \exists^\omega P\cap\exists^\omega Q$ ssi $\exists p,q\in\omega, P(x,p)\land Q(x,q)$ ssi $\exists n\in\omega, P(x,(n)_0)\land Q(x,(n)_1)$. Donc $\exists^\omega\mathit\Gamma$ est close par $\land$.
Si $P\in\mathit\Gamma(X\times\omega^2)$
\begin{align*}
\exists m\le n, (x,m)\in\exists^\omega P
&\iff \exists p\in\omega,\exists m\le n, P(x,m,p)\\
\forall m\le n,(x,m)\in \exists^\omega P &\iff \exists p\in\omega, \forall m \le n, P(x,m,(p)_m)
\end{align*}
donc $\exists^\omega \mathit\Gamma$ est close par $\exists^\le$ et $\forall^\le$.
De même, $\exists^{\mathcal N}\mathit\Gamma$ contient les récursifs, est close par substitution récursive. Pour la clôture par $\land$,$\lor$,$\exists^\le$,$\forall^\le$,$\exists^{\mathcal N}$, on contracte les quantificateurs. Par exemple, pour $\exists^{\mathcal N}$, supposons que $Q(x,\alpha)\iff \exists \beta\in\mathcal N, P(x,\alpha,\beta)$ avec $P\in\mathit\Gamma$.
Alors, $\exists \alpha\in\mathcal N, Q(x,\alpha)\iff \exists\alpha,\beta\in \mathcal N, P(x,\alpha,\beta)\iff \exists \gamma\in\mathcal N, P(x,(\gamma)_0,(\gamma)_1)$ d'où $\exists^{\mathcal N}Q\in \exists^{\mathcal N} \mathit\Gamma$.
Soit $Y$ polonais récursif non vide, $Q\subseteq X\times Y$ dans $\exists^{\mathcal N}\mathit\Gamma$, $\pi : \mathcal N\to Y$ récursive surjective. Alors
\[\exists y\in Y, Q(x,y) \iff \exists \alpha\in\mathcal N Q(x,\pi(\alpha))\]
donc $\exists^Y Q\in \exists^{\mathcal N}\mathit\Gamma$.
\end{proof}
\begin{corol}
Les classes de Kleene sont adéquates,
\begin{itemize}[ ]
\item $\mathit\Sigma^0_n$ est close par $\exists^\omega$
\item $\mathit\Pi^0_n$ est close par $\forall^\omega$
\item $\mathit\Sigma^1_n$ est close par $\forall^\omega$ et $\exists^Y$ pour tout $Y$ polonais récursif.
\item $\mathit\Pi^1_n$ est close par $\exists^\omega$ et $\forall^Y$ pour tout $Y$ polonais récursif.
\end{itemize}
\end{corol}
\begin{proof}
Ce qu'on a vu montre que $\mathit\Sigma^0_1$ est adéquate et close par $\exists^\omega$. Donc, par le théorème précédent, les classes de Kleene sont adéquates. La preuve précédente montre que $\mathit\Sigma^1_n$ (resp. $\mathit\Pi^1_n$) est close par $\forall^\omega$ (resp. $\exists^\omega$).
\end{proof}
\begin{prop}
Soit $X$ polonais récursif. Alors $\mathit\Sigma^0_1(X)\subseteq\mathit\Sigma^0_2(X)$.
\end{prop}
\begin{proof}
Par clôture par substitution récursive, on peut supposer $X$ r.p. . On définit $P\subseteq X\times\omega^3$ par $P(x,i,m,k) \iff d(x_i,x)<\frac m {k +1}$. Alors,
\[P(x,i,m,k)\iff \exists n\in\omega, x\in N(X,n)\land (n)_0 = i \land \frac{(n)_1}{(n)_2 +1} < \frac m {k +1}\]
donc $P\in\mathit\Sigma^0_1$. De même, on pose $Q(x,i,m,k)\iff d(x_i,x)>\frac m {k+1}$. Alors,
\[Q(x,i,m,k) \iff \exists n\in\omega, x\in N(x,n)\land \frac m {k+1} + \frac{(n)_1}{(n)_2 +1} < d(x_i,x_{(n)_0}\]
Donc $Q\in \mathit\Sigma^0_1$.
Notons que
\begin{align*}
P(x,i,m,k)
&\iff \exists m',k'\in\omega, \frac{m'}{k' +1} < \frac m {k+1} &\quad\land \lnot \frac{m'}{k'+1} < d(x_i,x)\\
&\iff " &"\land\lnot Q(x,i,m',k')
\end{align*}
Soient $S\in\mathit\Sigma^0_1(X)$, $S^*\in \mathit\Sigma^0_1(\omega)$ tel que $S = \bigcup_{n\in S^*} N(X,n),R\subseteq \omega^2$ récursif tel que $S^* = \exists^\omega R$.
\begin{align*}
x\in S &\iff \exists n\in S^* d(x,x_{(n)_0}) < \frac{(n)_1}{(n)_2 +1}\\
&\iff\exists n,p\in\omega, R(n,p)\land P(x,(n)_0,(n)_1,(n)_2)\\
&\iff\exists n,p,m',k'\in\omega, R(n,p)\land \frac{m'}{k'+1}<\frac{(n)_1}{(n)_2 +1}\land \lnot Q(x,(n)_0,m',k')
\end{align*}
Donc $S\in\mathit\Sigma^0_2$.
\end{proof}
\end{document}
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