first three slides

1st slide : title page
2nd slide : bisimulations
3rd slide : fibrations

beamer/beamer.tex

+\documentclass{beamer}
+\usecolortheme{seahorse}  
+\setbeamertemplate{footline}[frame number]
+\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
+
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage[french]{babel}
+\usepackage{dsfont}
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{tikz-cd}
+\usetikzlibrary{automata}
+\usepackage{booktabs}
+\usepackage{makecell}
+\usepackage{tabularx}
+
+\newcommand{\sem}[1]{\left\llbracket\,#1\,\right\rrbracket}
+\newcommand{\clatfibration}{$\mathbf{CLat}_\sqcap$-fibration} 
+\newcommand{\Cmu}{$\mathbf{C\mu}_{\Gamma,\Lambda}$}
+\newcommand{\seq}[3][1]{#2_{#1},\allowbreak\ldots,#2_{#3}}
+\newcommand{\ellipsis}[5][\cdots]{#2_{#3}#4#1#4#2_{#5}} % chktex 11
+\newcommand{\family}[3]{\left(#1_{#2}\right)_{#3}}
+\newcommand{\place}{\underline{\phantom{n}}\,} % place holder
+\newcommand{\drarrow}{\mathrel{\dot\rightarrow}}
+\newcommand{\bigmid}{\ \middle|\ }
+\newcommand{\Pred}[1][\Omega]{\mathbf{Pred}_{#1}}
+\newcommand{\ERel}[1][\Omega]{\mathbf{ERel}_{#1}}
+\DeclareMathOperator{\Obj}{Obj}
+\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
+\DeclareMathOperator{\id}{id}
+\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
+\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
+\DeclareMathOperator{\new}{new}
+\DeclareMathOperator{\sym}{sym}
+
+% ChkTex parameters
+% chktex-file 3
+% chktex-file 18
+% chktex-file 25
+% chktex-file 36
+
+\begin{document}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\title{Cadre fibrationnel pour point fixes imbriqués \\ \& \\Notions de (bi)simulations pour automates de B\"uchi}
+\author{Quentin Aristote}
+\date{}
+
+\maketitle
+
+% Bonjour
+% je vais présenter mon stage qui portait sur <titre>
+% objectif : généraliser résultats existants sur lien entre théorie des jeux et \nu d'un opérateur fibrationnel -> lien entre théorie des jeux et points fixes imbriqués dans fibrations
+% résultats utilisés pour généraliser bisimulation (\nu) et lien avec théorie des jeux -> espoir de faire de même pour bisimulations pour automates de buchi (s'expriment seulement avec points fixes imbriqués)
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Préliminaire : bisimulations}
+  \begin{figure}[h]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+      \uncover<2->{
+        \begin{scope}[every node/.style={state,thick,scale=0.5}]
+          \node (A) at (0,0) {} ;
+          \node (B) at (3,1) {} ;
+          \node (C) at (3,-1) {} ;
+          \node (D) at (6,1) {} ;
+          \node (E) at (6,-.5) {} ;
+          \node (F) at (6,-1.5) {} ;
+          \node (G) at (9,1.5) {} ;
+          \node (H) at (9,.5) {} ;
+          \node (I) at (9,-.5) {} ;
+          \node (J) at (9,-1.5) {} ;
+        \end{scope}
+        
+        \begin{scope}[every node/.style={above}]
+          \path [->]
+          (A) edge node {a} (B) 
+          (B) edge node {*} (D) 
+          (D) edge node {a} (G) 
+          (C) edge node {a} (E) 
+          (E) edge node {a} (I) ;
+        \end{scope}
+        \begin{scope}[every node/.style={below}]
+          \path [->]
+          (A) edge node {b} (C) 
+          (D) edge node {b} (H) 
+          (C) edge node {b} (F) 
+          (F) edge node {b} (J) ;
+        \end{scope}
+      }
+      
+      \begin{scope}[every node/.style={state,very thick,scale=.5}]
+        \node<3-4> (B) at (3,1) {} ;
+        \node<3> (C) at (3,-1) {} ;
+        \node<4-> (E) at (6,-.5) {} ;
+        \node<5> (D) at (6,1) {} ;
+        \node<6> (H) at (9,.5) {} ;
+      \end{scope}
+      
+      \begin{scope}[every edge/.style={draw=purple,very thick}]
+        \path<4-> [->] (C) edge (E) ;
+        \path<6-> [->] (D) edge (H) ;
+      \end{scope}
+      \begin{scope}[every edge/.style={draw=blue,very thick}]
+        \path<5-> [->] (B) edge (D) ;
+      \end{scope}
+
+      \uncover<7->{
+        \begin{scope}[every node/.style={state,accepting,thick,scale=0.5}]
+          \node (B) at (3,1) {} ;
+          \node (E) at (6,-.5) {} ;
+          \node (F) at (6,-1.5) {} ;
+        \end{scope}
+      }
+
+      \uncover<8->{
+        \begin{scope}[every node/.style={left}]
+          \node at (0,-.5) {$\exists$} ;
+          \node at (3,-1.5) {$\forall$} ;
+        \end{scope}
+        \begin{scope}[every node/.style={state,accepting,scale = .25,thick,right}]
+          \node at (0,-.5) {} ;
+          \node at (3,-1.5) {} ;
+      \end{scope}
+
+      }
+    \end{tikzpicture}
+  \end{figure}
+\end{frame}
+
+% bisimulation : relation d'équivalence sur états d'un programme qui relie les états depuis lesquels le programme a le meme comportement -> utile par exemple pour prouver le bon fonctionnement d'un compilateur
+% programme représenté par un système de transitions (automate, chaine de markov, ...) <1>
+% définition par théorie des jeux : un joueur propose une transition depuis un état, l'autre joueur répond avec une transition depuis l'autre état, et on recommence infiniment ; si le second joueur peut toujours jouer les états sont bisimilaires <3,4,5>
+% peut être défini pour des systèmes plus complexes : ajouter des états finaux <2>, des probabilités de transitions , etc.
+% résultat important : bisimilaires <=> vérifient les mêmes formules de logique modale
+% logique modale : logique binaire + pour toute transition, il existe une transition
+% résultats existants : écrire les bisimulations comme + grand point fixe d'un opérateur fibrationnel
+% problème : certaines bisimulations (ex: automate buchi) ne s'écrivent qu'avec des points fixes imbriqués
+% but : étendre les résultats pour prendre en compte les points fixes imbriqués
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Préliminaire : fibrations (de treillis complet)}
+  \begin{figure}[t]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+      \uncover<2->{
+        \node (C) at (0,2) {$\mathbb{C}$} ;
+        \node (B) at (0,0) {$\mathbb{B}$} ;
+        \path [->] (C) edge node[left] {$p$} (B) ;
+      }
+      \uncover<3->{
+        \node (X) at (2,0) {$X$} ;
+        \node (Y) at (6,0) {$Y$} ;
+        \begin{scope}[every circle/.style={x radius = .5, y radius = 1}]
+          \draw[dashed] (2,2) circle ;
+          \draw[dashed] (6,2) circle ;
+        \end{scope}
+        \begin{scope}[every node/.style={above}]
+          \node at (2,3) {$\mathbb{C}_X$} ;
+          \node at (6,3) {$\mathbb{C}_Y$} ;
+        \end{scope}
+      }
+      \uncover<4->{
+        \node (Q) at (6,2.5) {$Q$} ;
+        \node (fQ) at (2,2.5) {$f^*Q$} ;
+        \path [->] (X) edge node[above] {$f$} (Y) ;
+        \path [->] (fQ) edge node[above] {$\overline{f}Q$} (Q) ;
+      }
+      \uncover<5->{
+        \node (P) at (2,1.5) {$P$} ;
+        \path [->] (P) edge node[below] {$g$} (Q) ;
+        \node[rotate = 90] at (2,2) {$\sqsubseteq$} ;
+        \node[below] at (4,0) {$= p(g)$} ;
+      }
+    \end{tikzpicture}
+  \end{figure}
+
+  \uncover<6->{
+    \begin{table}[h]
+      \centering
+      \begin{tabular}{c c c c}
+        Fibration & $\mathbb{C}_X$ & $k : (X,P) \drarrow (Y,Q)$ ssi & $f^*Q$ \\
+        \toprule
+        \uncover<7->{$\Pred{}$ & $\Omega^X$ &  $P \sqsubseteq Q \circ k$ & $Q \circ k$} \\
+        \midrule
+        \uncover<8->{$\ERel{}$ & $\Omega^{X^2}$ & $P \sqsubseteq Q \circ (k \times k)$ & $Q \circ (k \times k)$} \\
+        \midrule
+        \uncover<9->{$\mathbf{Pmet}_1$ & & $\cdots$ &} \\
+        \midrule
+        \uncover<9->{$\mathbf{Top}$ & & $\cdots$ &} \\
+        \bottomrule
+      \end{tabular}
+    \end{table}
+  }
+\end{frame}
+
+% je parle d'un opérateur fibrationnel : késako ?
+% foncteur catégories totale -> base
+% fibré (= préimage) est un treillis complet (= ensemble ordonné pour lequel on peut prendre le borne inférieure ou supérieure de n'importe quel sous ensemble)
+% muni d'une opération : relèvement cartésien
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% si f : X -> Y et Q \in E_Y, \overline{f}(Q) : f^*Q -> Q le plus grand objet tel que f : P \darrow Q (pour lequel il existe g : P -> Q qui se projette sur f)
+% relèvement conserve la borne inférieure et la composition
+% exemples (catégorie base = ensembles) :
+% Pred : - \Omega treillis complet
+%%%%%%%% - objets fonctions X -> \Omega
+%%%%%%%% - flèches fonction k : X -> Y tq P \sqsubseteq Q \circ k
+%%%%%%%% - k^*Q = Q \circ k
+% Rel :  - objets relations X^2 -> \Omega
+%%%%%%%% - flèches fonction k : X -> Y tq P \sqsubseteq Q \circ (k \times k)
+%%%%%%%% - k^*Q = Q \circ (k \times k)
+% Espaces métriques
+% Espaces topologiques
+% on peut généraliser un concept à d'autres fibrations en changeant le relèvement cartésien
+\end{document}