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\newcommand{\PM}[2]{\emph{$#1$--to--$#2$ Pachner move}}
\newcommand{\PMs}[2]{\emph{$#1$--to--$#2$ Pachner moves}}
\newcommand{\bigmid}{\:\middle|\:}
\newcommand{\range}[2]{\llbracket #1, #2 \rrbracket}
\newcommand{\includetikzpicture}[2][]{\includegraphics[{#1}]{graphics/{#2}/{#2}.pdf}}
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......@@ -286,11 +290,95 @@ Nous avons donc décidé de nous restreindre aux \emph{$1$--to--$3$} et aux \PMs
En pratique, effectuer un \emph{$1$--to--$3$} ou un \PM{3}{1} courbe la métrique, puisque la particule qui se propage doit traverser plus de triangles après un \PM{1}{3} qu'avant pour parcourir une distance fixée. Or, dans la théorie de la relativité générale, c'est la matière elle-même qui courbe ainsi la métrique. En adoptant ce point de vue ici, il est donc naturel de choisir d'effectuer un \PM{1}{3} (créer un puit) sur un triangle $v$ dès lors que la probabilité que la particule s'y situe est supérieure à un seuil $\alpha$ (si $v$ a pour étiquette $(s_1,s_2,s_3)$, dès lors que $\sum_{k = 1}^3\abs{\psi^{s_k}(t,v,k)}^2 > \alpha$) ; et d'effectuer un \PM{3}{1} (supprimer un puit) sur un $3$-cycle dès lors que la probabilité de se trouver dans le puit correspondant est inférieure à un seuil $\beta$ (si $u$ et $v$ partagent leur premier côté, $v$ et $w$ leur deuxième côté et $w$ et $v$ leur troisième côté, on effectue un \PM{3}{1} dès lors que $\norm{\psi(t,u,1)}^2 + \norm{\psi(t,v,2)}^2 + \norm{\psi(t,w,3)}^2 < \beta$).
\section{Équation discrète du marcheur}
\section{Étude formelle du couplage}
Une fois le couplage défini, nous avons d'abord essayé de l'étudier formellement.
Une fois le couplage défini, nous avons d'abord essayé de l'étudier formellement afin de démontrer des résultats mathématiquement. Pour ce faire, nous avons tenté d'écrire l'évolution du marcheur sous la forme d'une équation discrète.
Pour ce faire, il a d'abord fallu changer la façon dont on écrivait $\psi$ : l'exprimer comme une fonction des triangles est en effet peu pratique dès qu'on essaie d'écrire les équations pour les \emph{Pachner moves}. Pour cela, on choisit d'abord un triangle du réseau triangulaire plat comme l'origine. On peut le suivre lorsqu'il est sujet à un \emph{Pachner move} puisqu'un \PM{1}{3} crée toujours un triangle avec la même étiquette que celui auquel on l'a appliqué (ce ne serait plus possible si on considérait aussi les \PM{2}{2}) : ce nouveau triangle devient l'origine. Le graphe associé au réseau peut donc être vu comme un graphe pointé, et ainsi un triangle du réseau peut être vu comme le langage des mots qui correspondent à un chemin de l'origine jusqu'à ce triangle \cite{generalized_cayley_graphs_CA} \footnote{Le lecteur interessé pourra aussi se réferer à mom mémoire de licence de mathématiques qui reprends la preuve du bien-fondé de cette définition \cite{cgd}}. Par exemple, si un langage $v$ correspond à un triangle, alors le voisin de ce triangle sur son premier côté correspond au langage $v.1 = \{x.1 \mid x \in v\}$, et on identifie n'importe quel $x \in v$ à $v$ lui-même. Alors
\begin{itemize}
\item si $v$ a pour étiquette $(s_1,s_2,s_3)$, on écrit pour tout $k \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$
\[ \psi(t,v:k) = \psi^s_k(t,v,k) \]
\[ \psi(t, v:k:v.k) = \psi(t, v, k) \]
\item si le triangle $v$ port la composante en $\uparrow$ de son $k$-ième côté et son voisin $v.k$ porte la composante en $\downarrow$, on écrit
\[
\psi\left(t,
\begin{array}{c}
v \\
\hline
k \\
\hline
v.k
\end{array}
\right) =
\begin{pmatrix}
\psi(t,v:k) \\
\psi(t,v.k:k)
\end{pmatrix}
\]
\end{itemize}
Pour ce faire, il a d'abord fallu changer la façon dont on écrivait $\psi$ : l'exprimer comme une fonction des triangles est en effet peu pratique dès qu'on essaie d'écrire les équations pour les \emph{Pachner moves}. Pour cela, on choisit d'abord un triangle du réseau triangulaire plat comme l'origine. On peut le suivre lorsqu'il est sujet à un \emph{Pachner move} puisqu'un \PM{1}{3} crée toujours un triangle avec la même étiquette que celui auquel on l'a appliqué (ce ne serait plus possible si on considérait aussi les \PM{2}{2}) : ce nouveau triangle devient l'origine. Le graphe associé au réseau peut donc être vu comme un graphe pointé, et ainsi un triangle du réseau peut être vu comme l'ensemble des mots qui correspondent à un chemin de l'origine jusqu'à ce triangle \cite{generalized_cayley_graphs_CA} \footnote{Le lecteur interessé pourra aussi se réferer à mom mémoire écrit dans le cadre de la double licence mathématiques-informatique qui reprends la preuve du bien-fondé de cette définition \cite{cgd}}.
On peut ainsi écrire après les rotations internes aux triangles et l'application de $W$
\[\widetilde{\psi}\left(t + \epsilon, \begin{array}{c} v \\ \hline k \\ \hline w \\ \end{array}\right) = W \begin{pmatrix} \widetilde{\psi}(t, v:k - 1) \\ \widetilde{\psi}(t, w:k - 1)\end{pmatrix} = (WR\widetilde{\psi}(t))\left(\begin{array}{c} v \\ \hline k \\ \hline w \\ \end{array}\right)\]
(on voit alternativement $W$ comme un opérateur de dimension $2$ lorsqu'il agit sur une arête et comme un opérateur de dimension infinie lorsqu'il agit sur toutes les arêtes).
Après l'application des \PMs{1}{3},
\begin{multline*}
\widetilde{\psi}\left(t + 3\epsilon, \begin{array}{c} \Pi_{i = 1}^nk_i(k_{i+1}k_i)^{\mathds{1}_{1 \rightarrow_{t + 2\epsilon} 3}\left(\Pi_{j = 1}^i k_j\right)} \\ \hline k \\ \hline \left(\Pi_{i = 1}^nk_i(k_{i+1}k_i)^{\mathds{1}_{1 \rightarrow_{t + 2\epsilon} 3}\left(\Pi_{j = 1}^i k_j\right)}\right)k \end{array} \right) = \\ \left(1 - \mathds{1}_{1 \rightarrow_{t + 2\epsilon} 3}\left(\Pi_{i = 1}^n k_i\right)(1 - \delta_{k_n = k})\right)\widetilde{\psi}\left(t + 2\epsilon,\begin{array}{c} \Pi_{i = 1}^n k_i \\ \hline k \\ \hline \left(\Pi_{i = 1}^n k_i\right)k \end{array}\right)
\end{multline*}
Cette équation décrit à la fois la façon dont les triangles sont renommés (on ajoute des lettres dans le milieu du mot pour chaque \emph{Pachner move} effectué sur le chemin correspondant) and ce que devient $\widetilde{\psi}$ (il s'annule si et seulement l'arête fait partie d'un triangle qui subit un \emph{Pachner move} et que la nouvelle arête de même nom fait partie du nouveau $3$-cycle, sinon il ne change pas). La fonction $\mathds{1}_{1 \rightarrow_t 3}$ indique si un \PM{1}{3} doit être réalisé sur le triangle à l'instant $t$ :
\[
\mathds{1}_{1 \rightarrow_t 3} = \left\{
\begin{matrix}
1 & \mathrm{si} & \sum_{k=1}^3 \abs{\psi(t,v:k)}^2 > \alpha \\
0 & \mathrm{sinon}
\end{matrix}\right.
\]
Finalement, soit $3\mathrm{-cycles}(t)$ l'ensemble
\[\left\{c = \{u:0, v:1, w:2, u:1:w, u:2:v, v:0:w\} \bigmid \sum_{\substack{s \in \{u,v,w\} \\ k \in \pi \\ s:k \notin c}} \abs{\psi(t + \epsilon, s:k)}^2 < \beta \right\}\]
Alors, après les \PMs{3}{1},
\[\widetilde{\psi}(t + 2\epsilon) = \left(\Pi_{c \in 3\mathrm{-cycles}(t + \epsilon)}D_c \circ T_c\right)\widetilde{\psi}(t + \epsilon)\]
avec
\begin{align*}
(T_c \widetilde{\psi})(u:k) &= \delta_{\exists n \in \mathbb{N}^*, u.(k(k+1))^n : k+1 \in c}\widetilde{\psi}(u.k(k+1) :k) \\
&+ \delta_{\exists n \in \mathbb{N}^*, u.(k(k+2))^n : k+2 \in c}\widetilde{\psi}(u.k(k+2) :k) \\
&+ \delta_{\forall n \in \mathbb{N}, l \in \{k+1,k+2\}, u.(kl)^n : l \notin c}\widetilde{\psi}(u :k)
\end{align*}
et
\[ (D_c \widetilde{\psi})\left(u = \Pi_{i = 1}^n k_i:k\right) = \widetilde{\psi}\left(\Pi_{i \in I_c^u}k_i\right)\]
\[ I_c^u = \left\{ i \in \range{1}{n} \bigmid \Pi_{j = 1}^i k_j : k_{i+1} : \left(\Pi_{j = 1}^i k_j\right)k_{i+1} \notin c\right\} \]
$T_c$ est la transformation unitaire qui translate les valeurs de $\widetilde{\psi}$ et $D_c$ et celle qui renomme les triangles après la suppression des arêtes. Notons que l'ordre dans lequels les $3$-cycles doivent être considérés n'est pas appliqué : nous avons choisi de le faire par ordre décroissant de probabilité, mais ce choix ne semble pas influencer le comportement global de la marche.
En mettant ces trois équations bout-à-bout, on obtient l'équation discrète régissant à la fois la marche et la dynamique du réseau :
\begin{multline*}
\widetilde{\psi}\left(t + 3\epsilon,
\begin{array}{c}
\Pi_{i = 1}^nk_i(k_{i+1}k_i)^{\mathds{1}_{1 \rightarrow_t 3}\left(\Pi_{j = 1}^i k_j\right)} \\
\hline k \\
\hline \left(\Pi_{i = 1}^nk_i(k_{i+1}k_i)^{\mathds{1}_{1 \rightarrow_t 3}\left(\Pi_{j = 1}^i k_j\right)}\right)k
\end{array} \right) = \\
\left(1 - \mathds{1}_{1 \rightarrow_t 3}\left(\Pi_{i = 1}^n k_i\right)(1 - \delta_{k_n = k})\right) \times
\left(\left(\Pi_{c \in 3\mathrm{-cycles}}D_c \circ T_c\right)WR\widetilde{\psi}(t)\right)\left(
\begin{array}{c}
\Pi_{i = 1}^n k_i \\
\hline k \\
\hline \left(\Pi_{i = 1}^n k_i\right)k
\end{array}\right)
\end{multline*}
Malheureusement, ceette équation est hautement non linéaire est complexe à étudier analytiquement. Elle permet cependant de retrouver certains comportement limites comme lorsque $\alpha = 1$ ou $\beta = 0$.
Pour trouver la limite continue d'un marcheur, il faut exprimer cette équation comme une fonction des coordonnées des arêtes dans le plan. Si c'est possible dans certains cas (par exemple si on ne considère pas les \emph{Pachner moves} et que le triangle considéré est équilatéral), ceux-ci sont trop restreints pour obtenir des résultats. Dans le cas général, une possibilité serait d'exprimer la distance entre deux arêtes à partir de la coubure de la surface qui devrait aussi avoir une limite continue. Cependant nous ne sommes pas parvenus à développer cette idée.
Un autre objet à étudier serait l'entropie de Shannon de la distribution du marcheur. En effet, elle permet de faire fi des \emph{Pachner moves} et des rotations (qui ne font que permuter les valeurs de $\widetilde{\psi}$ sur les arêtes), et pourrait donner lieu à des résultats sur la localisation (ou la dispersion) de la particule. Cependant, là encore, nous ne sommes pas parvenus à développer cette idée.
\section{Simulations numériques}
\label{sec:simulation}
\subsection{Implémentation}
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\end{document}
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