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......@@ -250,7 +250,7 @@ De même, un \PM{2}{2} peut être vu comme une rotation et une déformation de l
Les \PMs{3}{1} sont plus compliqués à étendre, car ils suppriment des arêtes. En effet, si les deux extensions précédentes conservent la réversibilité des transformations, il faut nécessairement considérer un nombre infini d'arêtes pour que ce soit aussi vrai pour les \PMs{3}{1} : si après une telle transformation seules un nombre fini $n$ d'arêtes de $\widetilde{\psi}$ sont impactées, alors la transformation ne peut être injective (on envoie un espace de dimension $2n + 6$ dans un espace de dimension $2n$).
Cela entraîne un problème de localité : un \emph{Pachner move} sur un triangle peut modifier la valeur de $\widetilde{\psi}$ sur un triangle infiniment loin. Pour corriger ce problème, on considère que $\widetilde{\psi}$ est à support fini, c'est-à-dire qu'il est non nul sur un nombre fini d'arêtes. Ainsi, il est possible de trouver une transformation unitaire qui agit sur un nombre infini d'arêtes tout en ne modifiant la valeur de $\widetilde{\psi}$ que sur un nombre fini d'entre elles en pratique, en faisant en sorte que cette transformation soit locale.
Cela entraîne un problème de localité : un \emph{Pachner move} sur un triangle peut modifier la valeur de $\widetilde{\psi}$ sur un triangle infiniment loin. Pour corriger partiellement ce problème, on considère que $\widetilde{\psi}$ est à support fini, c'est-à-dire qu'il est non nul sur un nombre fini d'arêtes. Ainsi, il est possible de trouver une transformation unitaire qui agit sur un nombre infini d'arêtes tout en ne modifiant la valeur de $\widetilde{\psi}$ que sur un nombre fini d'entre elles en pratique, en la choisissant locale.
Une telle transformation est par exemple une simple translation, comme celle représentée en figure \ref{fig:marcheur_3to1_pm} : si trois triangles forment un $3$-cycle sur lequel on applique un \PM{3}{1}, alors toute composante interne au $3$-cycle, portée par un de ces triangles $v$ sur son $k$-ième côté, est translatée selon le côté de $v$ qui sort du $3$-cycle sur le triangle voisin $w$, puis est de nouveau translatée selon le $k$-ième côté de $w$ pour remplacer la composante portée par le voisin de $w$ sur son $k$-ième côté. La composante remplacée est alors elle aussi translatée selon les mêmes côtés et remplace une autre composante elle même translatée, ainsi de suite.
......@@ -275,7 +275,7 @@ On notera qu'il est physiquement cohérent que les triangles influent ceux à de
\begin{figure}[h]
\centering
\includetikzpicture{pachner_moves_and_cycles}
\caption{Les \emph{$1$--to--$3$} et \PMs{3}{1} conservent les cycles.}
\caption{Les \emph{$1$--to--$3$} et \PMs{3}{1} conservent les cycles de la forme $(ab)^k$.}
\label{fig:pm_et_cycles}
\end{figure}
......@@ -408,13 +408,13 @@ La condition initiale choisie est la même qu'en section \ref{sec:simulation1},
Deux quantités ont été mesurées :
\begin{itemize}
\item pour étudier la structure du réseau lui-même, nous avons mesuré sa courbure de Ricci : la courbure d'un sommet partagé par $n$ triangles est égale à $2\pi - n\pi/3$ et la courbure globale du réseau est la somme des courbures des sommets. Ainsi le réseau plat est de courbure nulle, appliquer un \PM{1}{3} sur un triangle diminue la courbure locale de ses sommets de $\pi/3$ et crée un sommet de courbure $\pi$ en son centre, et inversement pour les \PM{3}{1}. On en déduit notamment que la courbure du réseau est constante et égale à $0$, en accord avec la théorie de la relativité générale en deux dimensions. Ainsi seule la courbure locale est significative, et nous avons donc aussi mesuré le nombre total de puits dans le réseau pour avoir une donnée globable.
\item pour étudier la structure du réseau lui-même, nous avons mesuré sa courbure de Ricci : la courbure d'un sommet partagé par $n$ triangles est égale à $2\pi - n\pi/3$ et la courbure globale du réseau est la somme des courbures des sommets. Ainsi le réseau plat est de courbure nulle, appliquer un \PM{1}{3} sur un triangle diminue la courbure locale de ses sommets de $\pi/3$ et crée un sommet de courbure $\pi$ en son centre, et inversement pour les \PM{3}{1}. On en déduit notamment que la courbure du réseau est constante et égale à $0$, en accord avec le théorème de Gauss-Bonnet. Ainsi seule la courbure locale est significative, et nous avons donc aussi mesuré le nombre total de puits dans le réseau pour avoir une donnée globable.
\item pour étudier le marcheur lui-même, nous avons étudié la variance de son abcisse et de son ordonnée. Plus précisément, puisque nous cherchions une loi polynomiale, nous avons mesuré la quantité $\frac{\mathrm{d}\log{\Var{x}}}{\mathrm{d}t}$ et de même pour $y$. Dans le cas de la marche quantique sur le réseau triangulaire plat, cette quantité converge dans les deux cas vers $2$.
\end{itemize}
\subsection{Résultats}
La courbure locale d'une boule de rayon $1$ évolue toujours selon le même modèle, quelles que soient les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ (suffisemment petites pour qu'il y ait des \emph{Pachner moves}) choisies \ref{fig:courbures} : \emph{(i)} la courbure augmente polynomialement : la particule est localisée et la surface s'étire ; \emph{(ii)} elle décroit vite, en $e^{-bt^2}$ : la particule n'est plus localisée et la surface se relache ; \emph{(iii)} quelques puits apparaissent mais disparaissent immédiatement ; \emph{(iv)} la courbure locale est finalement constante et égale à zéro : la particule est complétement délocalisée ne permet plus aucun \emph{Pachner move}. Le réseau a alors atteint son état final : il est devenu plat. Le nombre total de puits suit le même modèle \ref{fig:puits}.
La courbure locale d'une boule de rayon $1$ évolue toujours selon le même modèle, quelles que soient les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ (suffisemment petites pour qu'il y ait des \emph{Pachner moves}) choisies (figure \ref{fig:courbures}) : \emph{(i)} la courbure augmente polynomialement : la particule est localisée et la surface s'étire ; \emph{(ii)} elle décroit vite, en $e^{-bt^2}$ : la particule n'est plus localisée et la surface se relache ; \emph{(iii)} quelques puits apparaissent mais disparaissent immédiatement ; \emph{(iv)} la courbure locale est finalement constante et égale à zéro : la particule est complétement délocalisée ne permet plus aucun \emph{Pachner move}. Le réseau a alors atteint son état final : il est devenu plat. Le nombre total de puits suit le même modèle (figure \ref{fig:puits}).
\begin{figure}[H]
\centering
......@@ -466,11 +466,11 @@ La courbure locale d'une boule de rayon $1$ évolue toujours selon le même mod
\end{figure}
Puisque pour $t \gg 1$ le réseau est plat, le marcheur se comporte comme le marcheur décrit en section \ref{sec:recap}. L'évolution de la variance confirme ce résultat, puisqu'elle finit toujours par croître de manière quadratique \ref{fig:variance}.
Puisque pour $t \gg 1$ le réseau est plat, le marcheur se comporte comme le marcheur décrit en section \ref{sec:recap}. L'évolution de la variance confirme ce résultat, puisqu'elle finit toujours par croître de manière quadratique (figure \ref{fig:variance}).
Notre conjecture confirmée, il fallait désormais déterminer si notre modèle était résistant au bruit (toujours pour être en accord avec la théorie de la relativité générale). Pour cela, nous avons ajouté un bruit à la valeur de $\alpha$, en considérant $\alpha = \alpha_0e^{x(t)}$ avec $x(t) \hookrightarrow \mathcal{U}([-\sigma/2,\sigma/2])$, afin de produire des fluctuations aléatoires de la triangulation et donc de la courbure locale. Dans ce nouveau contexte, on observe toujours le même modèle \ref{fig:bruit}, même si ses paramètres peuvent changer drastiquement : le couplage résiste donc au bruit, et l'ordre dans lequel on effectue les \emph{Pachner moves} n'a probablement pas d'influence sur l'évolution de la métrique.
La propriété principale que nous ayons découverte est que la courbure locale dans une boule de rayon $1$ ainsi que le nombre de puits se comportent tous deux comme $t \mapsto ct^ae^{-bt^2}$, que ce soit dans le cas déterministe ou aléatoire. Ce fait est particulièrement intéressant car la décroissance exponentielle ($e^{-bt^2}$) peut être trouvée dans de multiples modèles à travers la physique, pour lesquels la constante $b$ est alors une constante associée à une coupure interne du système. Il paraissait donc naturel que $b$ soit une fonction de $\alpha$. C'est ce que nous avons pu confirmer par une régression \ref{fig:b_fonction_alpha} qui suggère que $1/b$ est proportionnel au logarithme de $\alpha$ (le coefficient de proportionnalité dépendant de la relation entre $\alpha$ et $\beta$), et de même pour l'instant de transition entre la phase de décroissance exponentielle et la phase de fluctuation (\texttt{tmax} sur les graphes). Le fait que ces constantes soient les mêmes dans le modèle de la courbure et le modèle du nombre de puits confirme de plus l'idée selon laquelle elles sont liées aux paramètres physiques du réseau.
La propriété principale que nous ayons découverte est que la courbure locale dans une boule de rayon $1$ ainsi que le nombre de puits se comportent tous deux comme $t \mapsto ct^ae^{-bt^2}$, que ce soit dans le cas déterministe ou aléatoire. Ce fait est particulièrement intéressant car la décroissance exponentielle ($e^{-bt^2}$) peut être trouvée dans de multiples modèles à travers la physique, pour lesquels la constante $b$ est alors une constante associée à une coupure interne du système. Il paraissait donc naturel que $b$ soit une fonction de $\alpha$. C'est ce que nous avons pu confirmer par une régression (figure \ref{fig:b_fonction_alpha}) qui suggère que $1/b$ est proportionnel au logarithme de $\alpha$ (le coefficient de proportionnalité dépendant de la relation entre $\alpha$ et $\beta$), et de même pour l'instant de transition entre la phase de décroissance exponentielle et la phase de fluctuation (\texttt{tmax} sur les graphes). Le fait que ces constantes soient les mêmes dans le modèle de la courbure et le modèle du nombre de puits confirme de plus l'idée selon laquelle elles sont liées aux paramètres physiques du réseau.
\begin{figure}[h]
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......@@ -499,10 +499,12 @@ Malgré tout, les résultats obtenus restent intéressants et ont ainsi fait l'o
\label{sec:conclusion}
J'ai ainsi étendu la marche quantique sur le réseau triangulaire plat à un réseau triangulaire dynamique sujet à des \emph{Pachner moves}, répondant plus ou moins au cahier des charges de mon encadrant. Ce dernier m'a ensuite fait étudier ce marcheur à la fois formellement et numériquement (seule l'étude numérique a cependant donné lieu à des résultats) afin d'obtenir un modèle de son comportement, qu'il s'est ensuite chargé d'interpréter physiquement. Nous avons ainsi observé que la courbure du réseau suit d'abord une loi en $ct^ae^{-bt^2}$ avant de s'annuler, le marcheur se comportant alors que le marcheur quantique sur le réseau triangulaire plat. Ces résultats réminescents de la relativité générale ont donné lieu à l'écriture d'un article que nous espérons voir publié prochainement \cite{qw_triangular_lattice_pm}.
J'ai ainsi étendu la marche quantique sur le réseau triangulaire plat à un réseau triangulaire dynamique sujet à des \emph{Pachner moves}, répondant plus ou moins au cahier des charges de mon encadrant. Ce dernier m'a ensuite fait étudier ce marcheur à la fois formellement et numériquement afin d'obtenir un modèle de son comportement, qu'il s'est ensuite chargé d'interpréter physiquement. Nous avons ainsi observé que la courbure du réseau suit d'abord une loi en $ct^ae^{-bt^2}$ avant de s'annuler, le marcheur se comportant alors que le marcheur quantique sur le réseau triangulaire plat. Ces résultats réminescents de la relativité générale ont donné lieu à l'écriture d'un article que nous espérons voir publié prochainement \cite{qw_triangular_lattice_pm}.
Si l'étude de ce marcheur n'est pas terminée (nous pensons notamment qu'il est possible d'intégrer les \PMs{2}{2} et d'obtenir des équations analytiques en se permettant certaines hypothèses), nous pensons qu'il est déjà possible de le généraliser, par exemple en considérant la propagation de plusieurs particules ou un réseau triangulaire en haute dimension (comme un tétrahèdre) où la courbure gloobale n'est plus nulle.
En plus de m'initier au vaste domaine qu'est le calcul naturel, ce stage m'a donc aussi permis de mieux comprendre le monde de la recherche et d'appliquer mes connaissances théoriques à un problème pratique.
\newpage
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\end{document}
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