Commit 8b230e6a by Quentin Aristote

### added lattice dynamic and started walker under pms

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 \documentclass{article} \usepackage{tikz} \usepackage{amsmath} \usepackage[graphics,tightpage,active]{preview} \PreviewEnvironment{tikzpicture} \PreviewEnvironment{equation} \PreviewEnvironment{equation*} \newlength{\imagewidth} \newlength{\imagescale} \pagestyle{empty} \thispagestyle{empty} \tikzstyle{vertex} = [circle, fill = white, draw = black] \newcommand{\up}{\uparrow} \newcommand{\down}{\downarrow} \begin{document} \begin{tikzpicture} \pgftransformcm{1}{0}{0}{sqrt(3)/2}{\pgfpoint{0cm}{0cm}} \draw (1, .75) node[left, rotate=30] {1} -- (2, 1.5); \draw (3, .75) node[right, rotate=-30] {2} -- (2, 1.5); \draw (2, 2.75) node[above] {0} -- (2, 1.5); \node [vertex] at (2, 1.5) {$\down\down\down$} ; \draw[->] (4,1.5) -- (5,1.5) ; \draw (6 + 0, 0) -- (6 + 1, .75) node[above right] {1} ; \draw (6 + 4, 0) -- (6 + 3, .75) node[above left] {2} ; \draw (6 + 2, 4) -- (6 + 2, 2.75) node[below] {0} ; \draw (6 + 0, 0) -- (6 + 1, 2) node[above left] {2} -- (6 + 2, 4) -- (6 + 3, 2) node[above right] {1} -- (6 + 4, 0) -- (6 + 2, 0) node[below] {0} -- cycle ; \node [vertex] at (6 + 0, 0) {$\up\up\down$} ; \node [vertex] at (6 + 4, 0) {$\down\down\up$} ; \node [vertex] at (6 + 2, 4) {$\up\up\up$} ; \draw[->] (7 + 4,1.5) -- (7 + 5,1.5) ; \draw (7 + 6 + 0, 0) -- (7 + 6 + 1, .75) node[above right] {1} ; \draw (7 + 6 + 4, 0) -- (7 + 6 + 3, .75) node[above left] {2} ; \draw (7 + 6 + 2, 4) -- (7 + 6 + 2, 2.75) node[below] {0} ; \draw (7 + 6 + 0, 0) -- (7 + 6 + 1, 2) node[above left] {2} -- (7 + 6 + 2, 4) -- (7 + 6 + 3, 2) node[above right] {1} -- (7 + 6 + 4, 0) -- (7 + 6 + 2, 0) node[below] {0} -- cycle ; \node [vertex] at (7 + 6 + 0, 0) {$\down\down\up$} ; \node [vertex] at (7 + 6 + 4, 0) {$\up\up\down$} ; \node [vertex] at (7 + 6 + 2, 4) {$\down\down\down$} ; \end{tikzpicture} \end{document} \ No newline at end of file
 \documentclass{article} \usepackage{tikz} \usepackage{amsmath} \usepackage[graphics,tightpage,active]{preview} \PreviewEnvironment{tikzpicture} \PreviewEnvironment{equation} \PreviewEnvironment{equation*} \newlength{\imagewidth} \newlength{\imagescale} \pagestyle{empty} \thispagestyle{empty} \tikzstyle{vertex} = [circle, fill = white, draw = black] \newcommand{\up}{\uparrow} \newcommand{\down}{\downarrow} \begin{document} \begin{tikzpicture} \pgftransformcm{1}{0}{0}{sqrt(3)/2}{\pgfpoint{0cm}{0cm}} \draw (0, 0) -- (1, .75) node[above] {1} -- (2, 1.5); \draw (4, 0) -- (3, .75) node[above] {2} -- (2, 1.5); \draw (2, 4) -- (2, 2.75) node[left] {0} -- (2, 1.5); \draw (0, 0) -- (1, 2) node[above left] {2} -- (2, 4) -- (3, 2) node[above right] {1} -- (4, 0) -- (2, 0) node[below] {0} -- cycle ; \node [vertex] at (0, 0) {$\up\up\down$} ; \node [vertex] at (4, 0) {$\down\down\up$} ; \node [vertex] at (2, 4) {$\up\up\up$} ; \node [vertex] at (2, 1.5) {$\down\down\down$} ; \end{tikzpicture} \end{document} \ No newline at end of file
 \documentclass{article} \usepackage{tikz} \usepackage{amsmath} \usepackage[graphics,tightpage,active]{preview} \PreviewEnvironment{tikzpicture} \PreviewEnvironment{equation} \PreviewEnvironment{equation*} \newlength{\imagewidth} \newlength{\imagescale} \pagestyle{empty} \thispagestyle{empty} \tikzstyle{vertex} = [circle, fill = white, draw = black] \newcommand{\up}{\uparrow} \newcommand{\down}{\downarrow} \begin{document} \begin{tikzpicture} \pgftransformcm{1}{0}{0}{sqrt(3)/2}{\pgfpoint{0cm}{0cm}} \draw (0,0) -- (1,2) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,v,3)$} -- (2,4) -- (3,2) node[right] {$\widetilde{\psi}(t,v,2)$} -- (4,0) -- (2,0) node[below] {$\widetilde{\psi}(t,v,1)$} -- (0,0) ; \draw[->] (5,2) -- (6,2) ; \draw (7 + 0, 0) -- (7 + 1,2) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,v,3)$} -- (7 + 2,4) -- (7 + 3,2) node[right] {$\widetilde{\psi}(t,v,2)$} -- (7 + 4,0) -- (7 + 2,0) node[below] {$\widetilde{\psi}(t,v,1)$} -- (7 + 0,0) ; \draw (7 + 0, 0) -- (7 + 1,2/3) node[above] {$\vec{0}$} -- (7 + 2, 4/3) ; \draw (7 + 2, 4) -- (7 + 2,8/3) node[left] {$\vec{0}$} -- (7 + 2, 4/3) ; \draw (7 + 4, 0) -- (7 + 3,2/3) node[above] {$\vec{0}$} -- (7 + 2, 4/3) ; % \draw (1, .75) node[below left] {$\widetilde{\psi}(t,v,2)$} -- (2, 1.5); % \draw (3, .75) node[below right] {$\widetilde{\psi}(t,v,3)$} -- (2, 1.5); % \draw (2, 2.75) node[above] {$\widetilde{\psi}(t,v,1)$} -- (2, 1.5); % \node [vertex] at (2, 1.5) {$\down\down\down$} ; % \draw[->] (4,1.5) -- (6,1.5) ; % \draw (7 + 0, 0) -- (7 - 1, -.75) node[below left] {$\widetilde{\psi}(t,v,2)$} ; % \draw (7 + 4, 0) -- (7 + 5, -.75) node[below right] {$\widetilde{\psi}(t,v,3)$} ; % \draw (7 + 2, 4) -- (7 + 2, 5.25) node[above] {$\widetilde{\psi}(t,v,1)$} ; % \draw (7 + 0, 0) -- (7 + 1, 2) node[above left] {$\vec{0}$} -- (7 + 2, 4) -- (7 + 3, 2) node[above right] {$\vec{0}$} -- (7 + 4, 0) -- (7 + 2, 0) node[below] {$\vec{0}$} -- cycle ; % \node [vertex] at (7 + 0, 0) {$\down\down\up$} ; % \node [vertex] at (7 + 4, 0) {$\up\up\down$} ; % \node [vertex] at (7 + 2, 4) {$\down\down\down$} ; \end{tikzpicture} \end{document} \ No newline at end of file
 \documentclass{article} \usepackage{tikz} \usepackage{amsmath} \usepackage[graphics,tightpage,active]{preview} \PreviewEnvironment{tikzpicture} \PreviewEnvironment{equation} \PreviewEnvironment{equation*} \newlength{\imagewidth} \newlength{\imagescale} \pagestyle{empty} \thispagestyle{empty} \tikzstyle{vertex} = [circle, fill = white, draw = black] \newcommand{\up}{\uparrow} \newcommand{\down}{\downarrow} \begin{document} \begin{tikzpicture} \pgftransformcm{1}{0}{0}{sqrt(3)/2}{\pgfpoint{0cm}{0cm}} \draw (0,0) -- (1,2) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,w,3)$} -- (2,4) -- (3,2) node[right] {$\widetilde{\psi}(t,w,2)$} -- (4,0) -- (3,-2) node[right] {$\widetilde{t,v,3}$} -- (2,-4) -- (1,-2) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,v,2)$} -- cycle ; \draw (0,0) -- (2,0) node[above] {$\widetilde{\psi}(t,w,1) = \widetilde{\psi}(t,v,1)$} -- (4,0) ; \draw[->] (5,0) -- (6,0) ; \draw (7 + 0,0) -- (7 + 1,2) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,w,3)$} -- (7 + 2,4) -- (7 + 3,2) node[right] {$\widetilde{\psi}(t,w,2)$} -- (7 + 4,0) -- (7 + 3,-2) node[right] {$\widetilde{t,v,3}$} -- (7 + 2,-4) -- (7 + 1,-2) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,v,2)$} -- cycle ; \draw (7 + 2,4) -- (7 + 2,0) node {$\widetilde{\psi}(t,w,1) = \widetilde{\psi}(t,v,1)$} -- (7 + 2,-4) ; % \draw (1, .75) node[below left] {$\widetilde{\psi}(t,v,2)$} -- (2, 1.5) -- (3, .75) node[below right] {$\widetilde{\psi}(t,v,3)$} ; % \draw (2, 1.5) -- (2, 2.75) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,v,1)$} -- (2, 4); % \draw (1, 4.75) node[above left] {$\widetilde{\psi}(t,w,3)$} -- (2, 4) -- (3, 4.75) node[above right] {$\widetilde{\psi}(t,w,2)$} ; % \node [vertex] at (2, 1.5) {$\down\down\down$} ; % \node [vertex] at (2, 4) {$\up\up\up$}; % \draw[->] (4, 2.75) -- (6, 2.75) ; % \draw (7 + 1, 2) node[below left] {$\widetilde{\psi}(t,v,2)$} -- (7 + 2, 2.75) -- (7 + 1, 3.5) node[above left] {$\widetilde{\psi}(t,w,3)$} ; % \draw (7 + 2, 2.75) -- (7 + 4.5, 2.75) ; % \node [above] at (7 + 3.25, 3.5) {$\widetilde{\psi}(t,v,1)$} ; % \draw (7 + 5.5, 2) node[below right] {$\widetilde{\psi}(t,v,3)$} -- (7 + 4.5, 2.75) -- (7 + 5.5, 3.5) node[above right] {$\widetilde{\psi}(t,w,2)$} ; % \node [vertex] at (7 + 2, 2.75) {$\down\down\up$} ; % \node [vertex] at (7 + 4.5, 2.75) {$\up\up\down$} ; \end{tikzpicture} \end{document} \ No newline at end of file
 ... ... @@ -24,10 +24,25 @@ \usepackage{biblatex} \addbibresource{rapport.bib} % ------------------------------ Theorems ------------------------------ \theoremstyle{plain} \newtheorem{theoreme}{Théorème}[section] \newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition} \newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme} \newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}[theoreme]{Définition} \theoremstyle{remark} \newtheorem*{exemple}{Exemple} \newtheorem*{remarque}{Remarque} % ------------------------------ Commands ------------------------------ \newcommand{\PM}[2]{$#1-to-#2$ \emph{Pachner move}} \newcommand{\PMs}[2]{$#1-to-#2$ \emph{Pachner moves}} \newcommand{\PM}[2]{\emph{$#1$--to--$#2$ Pachner move}} \newcommand{\PMs}[2]{\emph{$#1$--to--$#2$ Pachner moves}} \newcommand{\includetikzpicture}[2][]{\includegraphics[{#1}]{graphics/{#2}/{#2}.pdf}} ... ... @@ -70,11 +85,12 @@ L'équipe CaNa (\textit{Ca}lcul \textit{Na}turel) du Laboratoire d'Informatique \section{Deux théories élégantes : marche quantique sur le réseau triangulaire \& \emph{Pachner moves}} \label{sec:recap} La première partie du stage consistait en un travail bibliographique ayant pour but de s'appropier les deux théories à coupler. \subsection{Marche quantique sur le réseau triangulaire} \label{recap} Dans cette marche quantique, la particule est portée par les arêtes du réseau triangulair plat, c'est-à-dire les côtés des triangles équilatéraux d'un pavage du plan. L'espace d'états est ainsi l'espace de Hilbert $\mathcal{H} = \mathcal{H}_e \otimes \mathcal{H}_s$ où $\mathcal{H}_e$ est l'espace engendré par les états purs $\ket{e}$ pour $e$ une arête du réseau et $\mathcal{H}_s$, l'espace des spins, est engendré par les états purs $\ket{\uparrow}$ et $\ket{\downarrow}$. ... ... @@ -107,7 +123,7 @@ Puisque deux triangles adjacents ont des étiquettages différents, cela donne f Lorsque $W$ et les $U_k$ sont bien choisis, l'équation obtenue en itérant trois pas de la marche quantique admet pour limite continue lorsque $\epsilon$ tends vers $0$ ($\epsilon$ est aussi, à un facteur près, le pas du réseau) l'équation de Dirac en $(2 + 1)$ dimensions, qui décrit la propagation de particules de matières, tels que les électrons, sur une surface euclidienne \cite{qw_triangular_lattice}. Cette marche quantique se généralise aussi facilement pour obtenir une équation de Dirac courbée, qui décrit la propagation de particules de matières sur une surface dont la métrique est courbée, par exemple par la présence d'un champs gravitationnel \cite{qw_triangular_lattice_curved_spacetime}. \subsection{Pachner moves} \subsection{\emph{Pachner moves}} Un \PM{n}{m} est une transformation d'une triangulation qui consiste à remplacer un sous-ensemble de $n$ triangles de la triangulation initiale par son complémentaire dans $\partial\Delta_{n+m-1}$, la triangulation de la sphère de dimension $n + m - 2$ (par exemple, $\partial\Delta_3$ est un tétrahèdre). Ces transformations sont plus simples à visualiser sur le graphe associé à la triangulation (les sommets représentent les triangles et sont reliés par les arêtes qui représentent les côtés qu'ils partagent, comme représenté en figure \ref{fig:dualite_triangulation_graphe}). Par exemple, un \PM{1}{3} est représenté en figure \ref{fig:1to3_PM}. ... ... @@ -143,6 +159,82 @@ Deux triangulations homéomorphes sont toujours reliées par une suite finie de On notera finalement que, puisque $\partial\Delta_3$ est un tétrahèdre, on peut considérer qu'appliquer un \PM{1}{3} sur le réseau triangulaire plat revient à créer un puit, et que réciproquement un \PM{3}{1} (la transformation inverse) peut être considéré comme la suppression d'un tel puit. \printbibliography \section{Couplage entre le marcheur et la dynamique du réseau} \label{sec:couplage} L'objectif était donc désormais de réussir à étendre la marche quantique sur le réseau triangulaire plat pour prendre en compte les \emph{Pachner moves}. \subsection{Dynamique du réseau} On définit d'abord la façon dont l'étiquettage du réseau par les spins évolue sous l'action des \emph{Pachner moves}. Un premier constat est qu'un tel étiquettage n'est en fait pas suffisant. En effet, les \PMs{1}{3} créent des $3$-cycles dans le graphe associé au réseau. Il n'est donc pas possible d'étiquetter le graphe avec des spins de telle sorte que deux triangles adjacents portent deux spins différents : cela reviendrait à trouver un $2$-coloriage du graphe associé ce qui est impossible dès qu'il contient des $3$-cycles. On étend donc l'ensemble des étiquettes à $\Sigma = \{(\uparrow, \uparrow, \uparrow), (\downarrow, \downarrow, \downarrow), (\uparrow, \uparrow, \downarrow), (\downarrow, \downarrow, \uparrow)\}$ et on identifie $\uparrow$ à $(\uparrow, \uparrow, \uparrow)$ et $\downarrow$ à $(\downarrow, \downarrow, \downarrow)$. Cela permet notamment d'avoir un étiquettage avec des étiquettes de $\Sigma$ du réseau triangulaire plat équivalent à l'étiquettage décrit en section \ref{sec:recap}. On interprète alors le fait qu'un triangle $v$ soit étiquetté par $(s_1,s_2,s_3)$ en disant que $v$ porte la composante en $s_1$ de son premier côté, la composante en $s_2$ de son deuxième côté et la composante en $s_3$ de son troisième côté. Autrement dit, ce sont ces trois composantes du champ $\widetilde{\psi}$ qui interviennent lors de la rotation interne au triangle $v$. En réalité, l'idée initiale était de prendre les étiquettes dans $\{\uparrow, \downarrow\}^3$, et semble plus appropriée puisque le choix des éléments de $\Sigma$ peut sembler arbitraire. Le choix d'utiliser $\Sigma$ est en fait justifié par le fait qu'il permette une permet d'étendre intuitivement les \emph{Pachner moves}. \vspace{10pt} En effet, on peut étiquetter $\partial\Delta_3$ avec des étiquettes de $\Sigma$ de manière à ce que deux triangles adjacents portent chacun une composante différente du côté qu'ils partagent, comme en figure \ref{fig:etiquettage_sphere_dim_3}. \begin{figure}[h] \centering \includetikzpicture{labeled_discrete_3_dim_sphere} \caption{Un étiquettage possible de $\partial\Delta_3$.} \label{fig:etiquettage_sphere_dim_3} \end{figure} L'extension des \emph{Pachner moves} aux triangulations étiquettées de la sorte est alors immédiate : si un ensemble de triangles est isomorphe (avec étiquettages) à un sous-graphe de $\partial\Delta_3$, on le remplace par le complémentaire de ce sous-graphe. Pour s'assurer que deux triangles adjacents portent toujours chacun une composante différente du côté qu'ils partagent, on inverse finalement les étiquettages des triangles nouvellement introduit ($\uparrow$ devient $\downarrow$ et inversement). Un \PM{1}{3} est par exemple représenté en figure \ref{fig:etiquettage_1to3_pm}. On notera qu'avec cette définition, on a toujours qu'un \PM{n}{m} est l'inverse d'un \PM{m}{n}. \begin{figure}[h] \centering \includetikzpicture[width=\linewidth]{labeled_1-to-3_pachner_move} \caption{\PM{1}{3}} \label{fig:etiquettage_1to3_pm} \end{figure} \begin{lemme} Après une suite quelconque de \emph{Pachner moves}, deux triangles adjacents ont toujours des étiquettes disjointes. \end{lemme} \begin{proof} Soit $u$ et $v$ deux tels triangles d'étiquettages respectifs $(r_1,r_2,r_3)$ et $(s_1,s_2,s_3)$, ils partagent leur $i$-ème côté. On s'est donc assurés que $r_i \neq s_i$ (ils portent chacun une composante différente du côté qu'ils partagent). On a donc que $(r_1,r_2,r_3) \neq (s_1,s_2,s_3)$. \end{proof} Ce lemme implique que pour une clique de $n \le 3$ triangles du réseau triangulaire, le \PM{n}{(4-n)} associé est toujours bien défini. \subsection{Le marcheur quantique} À chaque instant $t$, on impose alors au champ $\widetilde{\psi}$ d'évoluer de la façon suivante : \begin{itemize} \item on effectue d'abord une rotation interne à chaque triangle : si le triangle $v$ a pour étiquette $(s_1,s_2,s_3)$, on pose pour $k \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ $\widetilde{\psi}^{s_k}(t + \Delta t, v, k) = \widetilde{\psi}^{s_{k - 1}}(t,v,k-1)$ \item on applique ensuite la matrice $W$ à chaque arête : $\widetilde{\psi}(t + \Delta t, v, k) = W\widetilde{\psi}(t,v,k)$ \item on effectue enfin les \emph{Pachner moves} pour cet instant, comme décrit ci-dessous. \end{itemize} \subsubsection{Évolution du marcheur lors des \emph{$1$--to--$3$} et des \emph{$2$--to--$2$ Pachner moves}} Un \PM{1}{3} peut être vu comme la création de trois nouvelles arêtes à l'intérieur d'un triangle. Il paraît donc logique de ne pas changer la valeur de $\widetilde{\psi}$ sur les anciennes arêtes et de le définir égal à $0$ sur ces nouvelles arêtes (afin de toujours avoir $\norm{\psi}^2 = 1$), comme représenté sur la figure \ref{fig:marcheur_1to3_pm}. \begin{figure}[h] \centering \includetikzpicture[width=\linewidth]{walker_1-to-3} \caption{Évolution du marcheur lors d'un \PM{1}{3}} \label{fig:marcheur_1to3_pm} \end{figure} De même, un \PM{2}{2} peut être vu comme une rotation et une déformation des deux triangles impliqués. Il semble donc logique de faire la même rotation sur les valeurs de $\widetilde{\psi}$ sur les arêtes, comme représenté sur la figure \ref{fig:marcheur_2to2_pm}. \begin{figure}[h] \centering \includetikzpicture[width=\linewidth]{walker_2-to-2} \caption{Évolution du marcheur lors d'un \PM{2}{2}} \label{fig:marcheur_2to2_pm} \end{figure} \end{document} \ No newline at end of file