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number = {1},
year = 2019,
month = 7,
doi = {10.1038/s41598-019-47535-4}
doi = {10.1038/s41598-019-47535-4},
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% ------------------------------ Commands ------------------------------
\renewcommand{\thefootnote}{\arabic{footnote}}
\newcommand{\PM}[2]{$#1-to-#2$ \emph{Pachner move}}
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\newcommand{\includetikzpicture}[2][]{\includegraphics[{#1}]{graphics/{#2}/{#2}.pdf}}
% ------------------------------------------------------------------------------------------
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\title{%
Marche quantique sur un réseau triangulaire sujet à des \emph{Pachner moves}
\footnote{Voir aussi l'article éponyme écrit dans le cadre du stage \cite{qw_triangular_lattice_pm}.} \\
\footnote{Ce rapport est très similaire l'article éponyme écrit dans le cadre du stage \cite{qw_triangular_lattice_pm}. Tandis que l'article, rédigé en anglais, se concentre sur les résultats obtenus lors du stage et leur mise en perspective dans le contexte actuel de la recherche, le rapport, rédigé en français, détaille aussi les impasses rencontrées et présente les résultats avec un vocabulaire un peu plus abordable.} \\
\vspace{10pt}
\large Rapport de stage de licence effectué sous la tutelle de Giuseppe Di Molfetta}
\author{Quentin Aristote}
\date{25 août 2019}
\maketitle
% ------------------------------ Introduction ------------------------------
......@@ -52,14 +58,90 @@ Un automate cellulaire correspond à l'étiquettage des sommets d'un graphe par
Les automates cellulaires quantiques généralisent cette notion à l'informatique et à la physique quantique : les cellules sont désormais dans une superposition d'états, mais l'évolution est toujours locale. De même, les automates cellulaires quantiques permettent d'exécuter n'importe quel algorithme quantique et permettent de simuler l'évolution de systèmes physiques quantiques.
Les marches quantiques sont des automates cellulaires quantiques particuliers : elles décrivent la propagation d'une particule quantique sur une grille. En plus d'être réaliste à mettre en place (à la différence d'un ordinateur quantique universel), elles permettent de visualiser intuitivement le fonctionnement d'un algorithme quantique : la particule se déplace sur une grille qui encode le problème et converge vers la cellule qui correspond à la solution. Elles permettent aussi de simuler des équations différentielles omniprésentes en physique, toujours de manière intuitive.
Les marches quantiques sont des automates cellulaires quantiques particuliers : elles décrivent la propagation d'une particule quantique sur une grille. En plus d'être réalisables en pratique (à la différence d'un ordinateur quantique universel), elles permettent de visualiser intuitivement le fonctionnement d'un algorithme quantique : la particule se déplace sur une grille qui encode le problème et converge vers la cellule qui correspond à la solution. Elles permettent aussi de simuler des équations différentielles omniprésentes en physique, toujours de manière intuitive.
L'équipe CaNa (\textit{Ca}lcul \textit{Na}turel) du Laboratoire d'Informatique et Systèmes travaille entre autres sur ces objets, à la frontière entre informatique et physique. Elle a contribué au développement d'un marcheur quantique sur le réseau triangulaire (le plan pavé avec des triangles équilatéraux) qui permet de simuler l'équation de Dirac en $(2 + 1)$ dimensions sur une surface euclidienne \cite{qw_triangular_lattice}, et qui se généralise facilement à des surfaces où la métrique est courbée \cite{qw_triangular_lattice_curved_spacetime}. L'objectif du stage était d'étendre ce marcheur à un réseau non plus fixé mais dynamique, ce qui n'avait jusqu'ici était fait que pour des automates cellulaires classiques.
L'équipe CaNa (\textit{Ca}lcul \textit{Na}turel) du Laboratoire d'Informatique et Systèmes travaille entre autres sur ces objets, à la frontière entre informatique et physique. Elle a contribué au développement d'un marcheur quantique sur le réseau triangulaire (le plan pavé avec des triangles équilatéraux) qui permet de simuler l'équation de Dirac en $(2 + 1)$ dimensions. L'objectif du stage était d'étendre ce marcheur à un réseau non plus fixé mais dynamique, ce qui n'avait jusqu'ici était fait que pour des automates cellulaires classiques. Plus précisément, le but était de prendre en compte les \emph{Pachner moves}, des transformations de triangulations qui ne changent pas la topologie de la surface triangulée.
% ------------------------------ Table des matières ------------------------------
\tableofcontents
% ------------------------------ Corps ------------------------------
\section{Deux théories élégantes : marche quantique sur le réseau triangulaire \& \emph{Pachner moves}}
La première partie du stage consistait en un travail bibliographique ayant pour but de s'appropier les deux théories à coupler.
\subsection{Marche quantique sur le réseau triangulaire}
\label{recap}
Dans cette marche quantique, la particule est portée par les arêtes du réseau triangulair plat, c'est-à-dire les côtés des triangles équilatéraux d'un pavage du plan. L'espace d'états est ainsi l'espace de Hilbert $\mathcal{H} = \mathcal{H}_e \otimes \mathcal{H}_s$$\mathcal{H}_e$ est l'espace engendré par les états purs $\ket{e}$ pour $e$ une arête du réseau et $\mathcal{H}_s$, l'espace des spins, est engendré par les états purs $\ket{\uparrow}$ et $\ket{\downarrow}$.
Si $v$ est un triangle et $k \in \{1,2,3\} \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, on écrit ainsi
\[
\psi(t,v,k) =
\begin{pmatrix}
\psi^{\uparrow}(t,v,k) \\
\psi^{\downarrow}(t,v,k)
\end{pmatrix}
\]
le vecteur de $\mathbb{C}^2$ dont le carré de la norme est la probabilité qu'à l'instant $t$, la particule se situe sur le $k$-ième côté de $v$.
Soit $\widetilde{\psi}(t,v,k) = U_k\psi(t,v,k)$, où $U_1$, $U_2$ et $U_3$ sont des matrices unitaires. On considère que chaque triangle du réseau est étiquetté par un spin ($\uparrow$ ou $\downarrow$), de telle sorte que deux triangles adjacents ont des étiquettages différents. Un pas se déroule alors en deux étapes :
\begin{itemize}
\item on fait d'abord une rotation des composantes internes à chaque triangle : si le triangle $v$ est étiquetté par le spin $s$, on pose pour chaque $k \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$
\[ \widetilde{\psi}^s\left(t + \frac{\epsilon}{2}, v, k\right) = \widetilde{\psi}^s(t, v, k-1) \]
\item on applique ensuite une transformation unitaire à chaque arête du réseau :
\[ \widetilde{\psi}(t + \epsilon, v, k) = W\widetilde{\psi}\left(t + \frac{\epsilon}{2}, v, k\right)\]
\end{itemize}
Puisque deux triangles adjacents ont des étiquettages différents, cela donne finalement
\[
\widetilde{\psi}(t + \epsilon, v, k) = W
\begin{pmatrix}
\widetilde{\psi}^\uparrow(t,v,k-1) \\
\widetilde{\psi}^\downarrow(t,v,k-1)
\end{pmatrix}
\]
Lorsque $W$ et les $U_k$ sont bien choisis, l'équation obtenue en itérant trois pas de la marche quantique admet pour limite continue lorsque $\epsilon$ tends vers $0$ ($\epsilon$ est aussi, à un facteur près, le pas du réseau) l'équation de Dirac en $(2 + 1)$ dimensions, qui décrit la propagation de particules de matières, tels que les électrons, sur une surface euclidienne \cite{qw_triangular_lattice}. Cette marche quantique se généralise aussi facilement pour obtenir une équation de Dirac courbée, qui décrit la propagation de particules de matières sur une surface dont la métrique est courbée, par exemple par la présence d'un champs gravitationnel \cite{qw_triangular_lattice_curved_spacetime}.
\subsection{Pachner moves}
Un \PM{n}{m} est une transformation d'une triangulation qui consiste à remplacer un sous-ensemble de $n$ triangles de la triangulation initiale par son complémentaire dans $\partial\Delta_{n+m-1}$, la triangulation de la sphère de dimension $n + m - 2$ (par exemple, $\partial\Delta_3$ est un tétrahèdre). Ces transformations sont plus simples à visualiser sur le graphe associé à la triangulation (les sommets représentent les triangles et sont reliés par les arêtes qui représentent les côtés qu'ils partagent, comme représenté en figure \ref{fig:dualite_triangulation_graphe}). Par exemple, un \PM{1}{3} est représenté en figure \ref{fig:1to3_PM}.
\begin{figure}[h]
\centering
\makebox[0pt]{
\includetikzpicture[width=.8\linewidth]{discrete_manifold_graph_duality}
}
\caption{Représentation d'une triangulation par un graphe.}
\label{fig:dualite_triangulation_graphe}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
\centering
\makebox[.29\textwidth] {
\begin{subfigure}{.2\textwidth}
\includetikzpicture[width=\linewidth]{discrete_3_dim_sphere}
\caption{$\partial\Delta_3$}
\end{subfigure}
}
\makebox[.69\textwidth] {
\begin{subfigure}{.6\textwidth}
\includetikzpicture[width=\linewidth]{1-to-3_pachner_move}
\caption{\PM{1}{3}}
\label{fig:1to3_PM}
\end{subfigure}
}
\caption{Un exemple de \emph{Pachner move}}
\end{figure}
Deux triangulations homéomorphes sont toujours reliées par une suite finie de \emph{Pachner moves}. Réciproquement, les \emph{Pachner moves} ne changent pas la topologie d'une triangulation. Ainsi permettre le réseau de se transformer \textit{via} des \emph{Pachner moves} revient à lui permettre de se transformer en n'importe quelle triangulation topologiquement équivalente.
On notera finalement que, puisque $\partial\Delta_3$ est un tétrahèdre, on peut considérer qu'appliquer un \PM{1}{3} sur le réseau triangulaire plat revient à créer un puit, et que réciproquement un \PM{3}{1} (la transformation inverse) peut être considéré comme la suppression d'un tel puit.
\printbibliography
......
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