Commit dab13080 authored by Quentin Aristote's avatar Quentin Aristote
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continued simulations

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......@@ -61,4 +61,11 @@
url = {https://git.eleves.ens.fr/qaristote/causal-graph-dynamics/blob/master/cgd.pdf},
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@online{lattice_python,
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\newcommand{\includetikzpicture}[2][]{\includegraphics[{#1}]{graphics/{#2}/{#2}.pdf}}
\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
% ------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{document}
......@@ -290,9 +292,29 @@ Nous avons donc décidé de nous restreindre aux \emph{$1$--to--$3$} et aux \PMs
En pratique, effectuer un \emph{$1$--to--$3$} ou un \PM{3}{1} courbe la métrique, puisque la particule qui se propage doit traverser plus de triangles après un \PM{1}{3} qu'avant pour parcourir une distance fixée. Or, dans la théorie de la relativité générale, c'est la matière elle-même qui courbe ainsi la métrique. En adoptant ce point de vue ici, il est donc naturel de choisir d'effectuer un \PM{1}{3} (créer un puit) sur un triangle $v$ dès lors que la probabilité que la particule s'y situe est supérieure à un seuil $\alpha$ (si $v$ a pour étiquette $(s_1,s_2,s_3)$, dès lors que $\sum_{k = 1}^3\abs{\psi^{s_k}(t,v,k)}^2 > \alpha$) ; et d'effectuer un \PM{3}{1} (supprimer un puit) sur un $3$-cycle dès lors que la probabilité de se trouver dans le puit correspondant est inférieure à un seuil $\beta$ (si $u$ et $v$ partagent leur premier côté, $v$ et $w$ leur deuxième côté et $w$ et $v$ leur troisième côté, on effectue un \PM{3}{1} dès lors que $\norm{\psi(t,u,1)}^2 + \norm{\psi(t,v,2)}^2 + \norm{\psi(t,w,3)}^2 < \beta$).
\section{Premières simulations numériques}
\label{sec:simulation1}
Afin d'étudier le couplage, il fallait tout d'abord effectuer quelques simulations dans le but d'observer des motifs récurrents dans le comportement du marcheur ou du réseau et ainsi de faire des conjectures.
\subsection{Implémentation}
Afin d'effectuer ces simulations, une librairie a été développée en \texttt{Python} \cite{lattice_python}. Elle ne prends en compte que les triangles pour lesquels la probabilité de présence et non nulle et mets à jour cet ensemble à chaque pas : par rapport à l'approche plus conventionnelle qui consiste à considérer un ensemble de $N \times N$ triangles, cette approche a l'avantage d'améliorer le temps et l'espace de calcul et de donner la possibilité à l'utilisateur de pousser les calculs aussi longtemps qu'il le souhaite (et que la puissance de sa machine le lui permet).
Pour ce faire, l'approche récursive du codage du réseau (avec laquelle un triangle est la donnée de ses trois voisins ainsi que des valeurs de $\psi$ qu'il porte) n'est pas suffisante : on pourrait imaginer créer deux triangles voisins indépendamment et ainsi ne jamais savoir qu'ils sont voisins. À la place, on identifie un triangle par les coordonnées de ses trois sommets (de même pour une arête), et on lui donne comme attributs les coordonnées correspondant aux triangles voisins, tout en ayant en parallèle un dictionnaire reliant coordonnées et triangles.
Cette approche non récursive a aussi le mérite de permettre de sauvegarder les résultats dans la ROM plus facilement (avec l'approche récursive il faudrait recalculer les valeurs des pointeurs vers les voisins). En termes de complexité pure cette sauvegarde du réseau n'est intéressante que lorsque l'on ne souhaite accéder à la structure du réseau que pour certains instants $t \gg 1$. En effet, la lecture de l'état du réseau comme le calcul du réseau à l'instant suivant se font tous deux en temps linéaire en le nombre de triangles et en espace constant. Le nombre de triangles à l'instant $t$ est lui un $\Theta\left(t^2\right)$.
\subsection{Résultats}
Nous avons considéré les couples $\left\{(\alpha, \beta) = (e^{-i/2}, e^{-j/2}) \bigmid i,j \in \range{0}{15}^2\right\}$ et posé à $t=0$ la condition initiale $\psi = \frac{1}{\sqrt{3}}$ sur les composantes d'un triangle et $\psi = 0$ ailleurs. Pour $t \gg 1$, le réseau semble redevenir plat (on ne voit plus apparaître de $3$-cycles et le marcheur retrouve ainsi le comportement qu'il a quand on omet les \emph{Pachner moves}.
D'où notre conjecture : la dynamique du couplage est constituée de deux phases. Dans la première, le réseau subit des \emph{Pachner moves} jusqu'à ce que la particule se soit suffisament diffusée pour qu'il n'y en ait plus jamais. Le réseau reste plat et la particule se propage comme dans la marche quantique sur le réseau plat (son comportement obéit alors à l'équation de Dirac) : c'est la seconde phase.
\section{Étude formelle du couplage}
Une fois le couplage défini, nous avons d'abord essayé de l'étudier formellement.
Nous avons donc tenté d'étudier le couplage formellement afin de montrer cette conjecture.
Pour ce faire, il a d'abord fallu changer la façon dont on écrivait $\psi$ : l'exprimer comme une fonction des triangles est en effet peu pratique dès qu'on essaie d'écrire les équations pour les \emph{Pachner moves}. Pour cela, on choisit d'abord un triangle du réseau triangulaire plat comme l'origine. On peut le suivre lorsqu'il est sujet à un \emph{Pachner move} puisqu'un \PM{1}{3} crée toujours un triangle avec la même étiquette que celui auquel on l'a appliqué (ce ne serait plus possible si on considérait aussi les \PM{2}{2}) : ce nouveau triangle devient l'origine. Le graphe associé au réseau peut donc être vu comme un graphe pointé, et ainsi un triangle du réseau peut être vu comme le langage des mots qui correspondent à un chemin de l'origine jusqu'à ce triangle \cite{generalized_cayley_graphs_CA} \footnote{Le lecteur interessé pourra aussi se réferer à mom mémoire de licence de mathématiques qui reprends la preuve du bien-fondé de cette définition \cite{cgd}}. Par exemple, si un langage $v$ correspond à un triangle, alors le voisin de ce triangle sur son premier côté correspond au langage $v.1 = \{x.1 \mid x \in v\}$, et on identifie n'importe quel $x \in v$ à $v$ lui-même. Alors
\begin{itemize}
......@@ -369,16 +391,46 @@ En mettant ces trois équations bout-à-bout, on obtient l'équation discrète r
\end{array}\right)
\end{multline*}
Malheureusement, ceette équation est hautement non linéaire est complexe à étudier analytiquement. Elle permet cependant de retrouver certains comportement limites comme lorsque $\alpha = 1$ ou $\beta = 0$.
Malheureusement, ceette équation est hautement non linéaire et donc complexe à étudier. Elle permet cependant de retrouver certains comportement limites comme lorsque $\alpha = 1$ ou $\beta = 0$.
Pour trouver la limite continue d'un marcheur, il faut exprimer cette équation comme une fonction des coordonnées des arêtes dans le plan. Si c'est possible dans certains cas (par exemple si on ne considère pas les \emph{Pachner moves} et que le triangle considéré est équilatéral), ceux-ci sont trop restreints pour obtenir des résultats. Dans le cas général, une possibilité serait d'exprimer la distance entre deux arêtes à partir de la coubure de la surface qui devrait aussi avoir une limite continue. Cependant nous ne sommes pas parvenus à développer cette idée.
Un autre objet à étudier serait l'entropie de Shannon de la distribution du marcheur. En effet, elle permet de faire fi des \emph{Pachner moves} et des rotations (qui ne font que permuter les valeurs de $\widetilde{\psi}$ sur les arêtes), et pourrait donner lieu à des résultats sur la localisation (ou la dispersion) de la particule. Cependant, là encore, nous ne sommes pas parvenus à développer cette idée.
\section{Simulations numériques}
\label{sec:simulation}
\section{Nouvelles simulations}
\label{sec:simulation2}
\subsection{Implémentation}
L'approche formelle ne menant pas à des résultats significatifs, nous avons tenté de montrer des résultats numériquement.
\subsection{Mesures}
La condition initiale choisie était la même qu'en section \ref{sec:simulation1}, cependant $\beta$ était choisi comme une fonction de $\alpha$, puisque ces constantes sont liées à l'élasticité de la surface triangulée et qu'en physique l'élasticité est donnée par une seule constante, intervenant dans l'étirement et la relaxation. Nous avons ainsi d'abord effectué des simulations pour $\beta = \alpha$, $\beta = 1 - \alpha$ et $\beta = 3\alpha$. Si les résultats observés étaient analogues pour ces trois relations aux résultats décrit ci-dessous, la relation $\beta = 3\alpha$ donnait les meilleurs résultats en terme d'interprétation physique : c'est donc pour celle-là que nous décrivons nos résultats dans la suite (puisque l'objectif était de calibrer les constantes $\alpha$ et $\beta$ pour obtenir le meilleur couplage possible et non d'avoir des bons résultats pour toutes les valeurs de ces constantes).
Deux quantités ont été mesurées :
\begin{itemize}
\item pour étudier la structure du réseau lui-même, nous avons mesuré sa courbure de Ricci : la courbure d'un sommet partagé par $n$ triangles est égal à $2\pi - n\pi/3$ et la courbure globale du réseau est la somme des courbures des sommets. Ainsi le réseau plat est de courbure nulle, appliquer un \PM{1}{3} sur un triangle diminue la courbure locale de ses sommets de $\pi/3$ et crée un sommet de courbure $\pi$ en son centre, et inversement pour les \PM{3}{1}. On en déduit notamment que la courbure du réseau est constante et égale à $0$, en accord avec la théorie de la relativité générale en deux dimensions. Ainsi seule la courbure locale est significative, et nous avons donc aussi mesuré le nombre total de puits dans le réseau pour avoir une donnée globable.
\item pour étudier le marcheur lui-même, nous avons étudié la variance de son abcisse et de son ordonnée. Plus précisément, puisque nous cherchions une loi polynomiale, nous avons mesuré la quantité $\frac{\mathrm{d}\log{\Var{x}}}{\mathrm{d}t}$ et de même pour $y$. Dans le cas de la marche quantique sur le réseau triangulaire plat, cette quantité converge dans les deux cas vers $2$.
\end{itemize}
\subsection{Résultats}
La courbure locale d'une boule de rayon $1$ évolue toujours selon le même modèle, quelles que soient les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ (suffisemment petites pour qu'il y ait des \emph{Pachner moves}) choisies \ref{fig:courbures} : \emph{(i)} la courbure augmente polynomialement : la particule est localisée et la surface s'étire ; \emph{(ii)} elle décroit vite, en $e^{-bt^2}$ : la particule n'est plus localisée et la surface se relache ; \emph{(iii)} quelques puits apparaissent pour disparaître immédiatement ; \emph{(iv)} la courbure local est finalement constante et égale à zéro : la particule est complétement délocalisée ne permet plus aucun \emph{Pachner move}. Le réseau a alors atteint son état final : il est devenu plat. Le nombre total de puits suit le même modèle \ref{fig:puits}.
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{subfigure}{.49\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{graphics/curvature_3_alpha_equals_beta.pdf}
\caption{Courbure locale du réseau dans une boule de rayon $1$ avec $\beta = 3\alpha$ et modélisée comme $t^ae^{-bt^2}c$.}
\label{fig:courbures}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.49\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{graphics/wells_3_alpha_equals_beta.pdf}
\caption{Nombre total de puits du réseau avec $\beta = 3\alpha$ et modélisé comme $t^ae^{-bt^2}c$.}
\label{fig:puits}
\end{subfigure}
\caption{Le réseau évolue toujours selon les mêmes principes.}
\end{figure}
\printbibliography
\end{document}
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