Commit e8bdfe35 authored by Quentin Aristote's avatar Quentin Aristote
Browse files

finished writing report

parent dab13080
@article{qw_triangular_lattice_pm,
author = {Aristote, Quentin and Di Molfetta, Giuseppe},
title = {Quantum Walk over a triangular lattice subject to Pachner moves},
journal = {arXiv e-print},
year = 2019,
month = 7,
eprint = {1907.10717},
eprinttype = {arxiv},
eprintclass = {quant-ph}
author = {Aristote, Quentin and Di Molfetta, Giuseppe},
title = {Quantum Walk over a triangular lattice subject to Pachner moves},
journal = {arXiv e-print},
year = 2019,
month = 7,
eprint = {1907.10717},
eprinttype = {arxiv},
eprintclass = {quant-ph}
}
@article{qw_triangular_lattice,
author = {Arrighi, Pablo and Di Molfetta, Giuseppe and M{\'{a}}rquez-Mart{\'{\i}}n, Iv{\'{a}}n and P{\'{e}}rez, Armando},
title = {Dirac equation as a quantum walk over the honeycomb and triangular lattices},
publisher = {American Physical Society ({APS})},
journal = {Physical Review A},
volume = 97,
number = 6,
year = 2018,
month = 6,
doi = {10.1103/physreva.97.062111},
eprint = {1803.01015},
eprinttype = {arxiv},
eprintclass = {quant-ph}
author = {Arrighi, Pablo and Di Molfetta, Giuseppe and M{\'{a}}rquez-Mart{\'{\i}}n, Iv{\'{a}}n and P{\'{e}}rez, Armando},
title = {Dirac equation as a quantum walk over the honeycomb and triangular lattices},
publisher = {American Physical Society ({APS})},
journal = {Physical Review A},
volume = 97,
number = 6,
year = 2018,
month = 6,
doi = {10.1103/physreva.97.062111},
eprint = {1803.01015},
eprinttype = {arxiv},
eprintclass = {quant-ph}
}
@article{qw_triangular_lattice_curved_spacetime,
author = {Arrighi, Pablo and Di Molfetta, Giuseppe and M{\'{a}}rquez-Mart{\'{\i}}n, Iv{\'{a}}n and P{\'{e}}rez, Armando},
title = {From curved spacetime to spacetime-dependent local unitaries over the honeycomb and triangular Quantum Walks},
publisher = {Springer Science and Business Media {LLC}},
journal = {Scientific Reports},
volume = {9},
number = {1},
year = 2019,
month = 7,
doi = {10.1038/s41598-019-47535-4},
eprint = {1812.02601},
eprinttype = {arxiv},
eprintclass = {quant-ph}
author = {Arrighi, Pablo and Di Molfetta, Giuseppe and M{\'{a}}rquez-Mart{\'{\i}}n, Iv{\'{a}}n and P{\'{e}}rez, Armando},
title = {From curved spacetime to spacetime-dependent local unitaries over the honeycomb and triangular Quantum Walks},
publisher = {Springer Science and Business Media {LLC}},
journal = {Scientific Reports},
volume = {9},
number = {1},
year = 2019,
month = 7,
doi = {10.1038/s41598-019-47535-4},
eprint = {1812.02601},
eprinttype = {arxiv},
eprintclass = {quant-ph}
}
@article{generalized_cayley_graphs_CA,
author = {Arrighi, Pablo and Martiel, Simon and Nesme, Vincent},
title = {Cellular automata over generalized Cayley graphs},
publisher = {Cambridge University Press ({CUP})},
journal = {Mathematical Structures in Computer Science},
volume = 28,
number = 3,
pages = {340--383},
doi = {10.1017/s0960129517000044},
year = 2017,
month = 5,
eprint = {1212.0027},
eprinttype = {arxiv},
eprintclass = {cs.DM}
author = {Arrighi, Pablo and Martiel, Simon and Nesme, Vincent},
title = {Cellular automata over generalized Cayley graphs},
publisher = {Cambridge University Press ({CUP})},
journal = {Mathematical Structures in Computer Science},
volume = 28,
number = 3,
pages = {340--383},
doi = {10.1017/s0960129517000044},
year = 2017,
month = 5,
eprint = {1212.0027},
eprinttype = {arxiv},
eprintclass = {cs.DM}
}
@online{cgd,
......@@ -63,9 +63,51 @@
month = 6
}
@online{lattice_python,
@online{triangular_lattice_python,
author = {Aristote, Quentin},
url = {https://git.eleves.ens.fr/qaristote/lattice.git},
url = {https://git.eleves.ens.fr/qaristote/triangular-lattice},
year = 2019,
month = 7
}
@article{lattice-gas_simulations_dynamical_geometry_two_dimensions,
author={Klales, Anna and Cianci, Donato and Needell, Zachary and Meyer, David A and Love, Peter J},
title = {Lattice gas simulations of dynamical geometry in two dimensions},
publisher = {American Physical Society ({APS})},
journal = {Physical Review E},
volume = {82},
number = {4},
doi = {10.1103/physreve.82.046705},
year = 2010,
month = 10,
eprint = {1002.4841},
eprinttype = {arxiv},
eprintclass = {cond-mat.soft}
}
@article{cgd_discrete_surfaces,
author = {Arrighi, Pablo and Martiel, Simon and Wang, Zizhu},
title = {Causal Dynamics of Discrete Surfaces},
publisher = {Open Publishing Association},
journal = {Electronic Proceedings in Theoretical Computer Science},
volume = {144},
pages = {30--40},
doi = {10.4204/eptcs.144.3},
year = 2014,
month = 3,
eprint = {1404.0083},
eprinttype = {arxiv},
eprintclass = {cs.DM}
}
@inproceedings{curvature_discrete_surfaces,
author = {Sullivan, John M.},
title = {Curvature measures for discrete surfaces},
publisher = {{ACM} Press},
booktitle = {{ACM} {SIGGRAPH} 2005 Courses on - {SIGGRAPH} {\textquotesingle}05},
doi = {10.1145/1198555.1198662},
year = 2005,
eprint = {0710.4497},
eprinttype = {arxiv},
eprintclass = {math.DG}
}
\ No newline at end of file
No preview for this file type
......@@ -81,7 +81,7 @@ Les automates cellulaires quantiques généralisent cette notion à l'informatiq
Les marches quantiques sont des automates cellulaires quantiques particuliers : elles décrivent la propagation réversible (à partir d'une configuration donnée on peut retrouver la configuration précédente) d'une particule quantique sur une grille. En plus d'être réalisables en pratique (à la différence d'un ordinateur quantique universel), elles permettent de visualiser intuitivement le fonctionnement d'un algorithme quantique : la particule se déplace sur une grille qui encode le problème et converge vers la cellule qui correspond à la solution. Elles permettent aussi de simuler des équations différentielles omniprésentes en physique, toujours de manière intuitive.
L'équipe CaNa (\textit{Ca}lcul \textit{Na}turel) du Laboratoire d'Informatique et Systèmes travaille entre autres sur ces objets, à la frontière entre informatique et physique. Elle a contribué au développement d'un marcheur quantique sur le réseau triangulaire (le plan pavé avec des triangles équilatéraux) qui permet de simuler l'équation de Dirac en $(2 + 1)$ dimensions. L'objectif du stage était d'étendre ce marcheur à un réseau non plus fixé mais dynamique, ce qui n'avait jusqu'ici était fait que pour des automates cellulaires classiques. Plus précisément, le but était de prendre en compte les \emph{Pachner moves}, des transformations de triangulations qui ne changent pas la topologie de la surface triangulée.
L'équipe CaNa (\textit{Ca}lcul \textit{Na}turel) du Laboratoire d'Informatique et Systèmes travaille entre autres sur ces objets, à la frontière entre informatique et physique. Elle a contribué au développement d'un marcheur quantique sur le réseau triangulaire (le plan pavé avec des triangles équilatéraux) qui permet de simuler l'équation de Dirac en $(2 + 1)$ dimensions. L'objectif du stage était d'étendre puis étudier ce marcheur à un réseau non plus fixé mais dynamique, ce qui n'avait jusqu'ici était fait que pour des automates cellulaires classiques. Plus précisément, le but était de prendre en compte les \emph{Pachner moves}, des transformations de triangulations qui ne changent pas la topologie de la surface triangulée.
% ------------------------------ Table des matières ------------------------------
......@@ -133,7 +133,7 @@ Lorsque $W$ et les $U_k$ sont bien choisis, l'équation obtenue en itérant troi
\subsection{\emph{Pachner moves}}
Un \PM{n}{m} est une transformation d'une triangulation qui consiste à remplacer un sous-ensemble de $n$ triangles de la triangulation initiale par son complémentaire dans $\partial\Delta_{n+m-1}$, la triangulation de la sphère de dimension $n + m - 2$ (par exemple, $\partial\Delta_3$ est un tétrahèdre). Ces transformations sont plus simples à visualiser sur le graphe associé à la triangulation (les sommets représentent les triangles et sont reliés par les arêtes qui représentent les côtés qu'ils partagent, comme représenté en figure \ref{fig:dualite_triangulation_graphe}). Par exemple, un \PM{1}{3} est représenté en figure \ref{fig:1to3_PM}.
Un \PM{n}{m} est une transformation d'une triangulation (\textit{id est} d'une surface discrète \cite{cgd_discrete_surfaces}) qui consiste à remplacer un sous-ensemble de $n$ triangles de la triangulation initiale par son complémentaire dans $\partial\Delta_{n+m-1}$, la triangulation de la sphère de dimension $n + m - 2$ (par exemple, $\partial\Delta_3$ est un tétrahèdre). Ces transformations sont plus simples à visualiser sur le graphe associé à la triangulation (les sommets représentent les triangles et sont reliés par les arêtes qui représentent les côtés qu'ils partagent, comme représenté en figure \ref{fig:dualite_triangulation_graphe}). Par exemple, un \PM{1}{3} est représenté en figure \ref{fig:1to3_PM}.
\begin{figure}[h]
\centering
......@@ -300,7 +300,7 @@ Afin d'étudier le couplage, il fallait tout d'abord effectuer quelques simulati
\subsection{Implémentation}
Afin d'effectuer ces simulations, une librairie a été développée en \texttt{Python} \cite{lattice_python}. Elle ne prends en compte que les triangles pour lesquels la probabilité de présence et non nulle et mets à jour cet ensemble à chaque pas : par rapport à l'approche plus conventionnelle qui consiste à considérer un ensemble de $N \times N$ triangles, cette approche a l'avantage d'améliorer le temps et l'espace de calcul et de donner la possibilité à l'utilisateur de pousser les calculs aussi longtemps qu'il le souhaite (et que la puissance de sa machine le lui permet).
Afin d'effectuer ces simulations, une librairie a été développée en \texttt{Python} \cite{triangular_lattice_python}. Elle ne prends en compte que les triangles pour lesquels la probabilité de présence et non nulle et mets à jour cet ensemble à chaque pas : par rapport à l'approche plus conventionnelle qui consiste à considérer un ensemble de $N \times N$ triangles, cette approche a l'avantage d'améliorer le temps et l'espace de calcul et de donner la possibilité à l'utilisateur de pousser les calculs aussi longtemps qu'il le souhaite (et que la puissance de sa machine le lui permet).
Pour ce faire, l'approche récursive du codage du réseau (avec laquelle un triangle est la donnée de ses trois voisins ainsi que des valeurs de $\psi$ qu'il porte) n'est pas suffisante : on pourrait imaginer créer deux triangles voisins indépendamment et ainsi ne jamais savoir qu'ils sont voisins. À la place, on identifie un triangle par les coordonnées de ses trois sommets (de même pour une arête), et on lui donne comme attributs les coordonnées correspondant aux triangles voisins, tout en ayant en parallèle un dictionnaire reliant coordonnées et triangles.
......@@ -391,9 +391,9 @@ En mettant ces trois équations bout-à-bout, on obtient l'équation discrète r
\end{array}\right)
\end{multline*}
Malheureusement, ceette équation est hautement non linéaire et donc complexe à étudier. Elle permet cependant de retrouver certains comportement limites comme lorsque $\alpha = 1$ ou $\beta = 0$.
Malheureusement, cette équation est hautement non linéaire et donc complexe à étudier. Elle permet cependant de retrouver certains comportement limites comme lorsque $\alpha = 1$ ou $\beta = 0$.
Pour trouver la limite continue d'un marcheur, il faut exprimer cette équation comme une fonction des coordonnées des arêtes dans le plan. Si c'est possible dans certains cas (par exemple si on ne considère pas les \emph{Pachner moves} et que le triangle considéré est équilatéral), ceux-ci sont trop restreints pour obtenir des résultats. Dans le cas général, une possibilité serait d'exprimer la distance entre deux arêtes à partir de la coubure de la surface qui devrait aussi avoir une limite continue. Cependant nous ne sommes pas parvenus à développer cette idée.
Pour trouver la limite continue d'un marcheur, il faut exprimer cette équation comme une fonction des coordonnées des arêtes dans le plan. Si c'est possible dans certains cas (par exemple si on ne considère pas les \emph{Pachner moves} et que le triangle considéré est équilatéral), ceux-ci sont trop restreints pour obtenir des résultats. Dans le cas général, une possibilité serait d'exprimer la distance entre deux arêtes à partir de la coubure du réseau (comme définie en \cite{curvature_discrete_surfaces} par exemple) qui devrait vraisemblablement avoir pour limite continue la courbure de la surface. Cependant nous ne sommes pas parvenus à développer cette idée.
Un autre objet à étudier serait l'entropie de Shannon de la distribution du marcheur. En effet, elle permet de faire fi des \emph{Pachner moves} et des rotations (qui ne font que permuter les valeurs de $\widetilde{\psi}$ sur les arêtes), et pourrait donner lieu à des résultats sur la localisation (ou la dispersion) de la particule. Cependant, là encore, nous ne sommes pas parvenus à développer cette idée.
......@@ -418,19 +418,90 @@ La courbure locale d'une boule de rayon $1$ évolue toujours selon le même mod
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{subfigure}{.49\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{graphics/curvature_3_alpha_equals_beta.pdf}
\caption{Courbure locale du réseau dans une boule de rayon $1$ avec $\beta = 3\alpha$ et modélisée comme $t^ae^{-bt^2}c$.}
\label{fig:courbures}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.49\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{graphics/wells_3_alpha_equals_beta.pdf}
\caption{Nombre total de puits du réseau avec $\beta = 3\alpha$ et modélisé comme $t^ae^{-bt^2}c$.}
\label{fig:puits}
\end{subfigure}
\makebox[0.47\textwidth]{
\begin{subfigure}{.45\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{graphics/curvature_3_alpha_equals_beta.pdf}
\caption{Courbure locale du réseau dans une boule de rayon $1$ lorsque $\beta = 3\alpha$, modélisée comme $t^ae^{-bt^2}c$.}
\label{fig:courbures}
\end{subfigure}
}
\makebox[0.47\textwidth] {
\begin{subfigure}{.45\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{graphics/wells_3_alpha_equals_beta.pdf}
\caption{Nombre total de puits du réseau lorsque $\beta = 3\alpha$, modélisé comme $t^ae^{-bt^2}c$.}
\label{fig:puits}
\end{subfigure}
}
\caption{Le réseau évolue toujours selon les mêmes principes.}
\end{figure}
Puisque pour $t \gg 1$ le réseau est plat, le marcheur se comporte comme le marcheur décrit en section \ref{sec:recap}. L'évolution de la variance confirme ce résultat, puisqu'elle finit toujours par croître de manière quadratique \ref{fig:variance}.
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{graphics/gradiant_variance_3_alpha_equals_beta.pdf}
\caption{Dérivée du logarithme de la variance lorsque $\beta = 3\alpha$ : elle converge toujours vers $2$.}
\label{fig:variance}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
\centering
\makebox[.47\textwidth]{
\begin{subfigure}{.45\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{graphics/curvature_noisy.pdf}
\caption{Courbure dans une boule de rayon $1$ pour $\alpha$ centré en $\alpha_0 = 3^{-3}$ et $\beta = 3\alpha$.
%\\ a,b,c = ['4.4E-01, 2.7E-02, 3.9E+00', '2.3E-01, 9.4E-03, 4.1E+00', '2.6E+00, 6.0E-02, 8.8E+00', '3.7E+00, 5.2E-02, 3.7E-01']
}
\end{subfigure}
}
\makebox[.47\textwidth]{
\begin{subfigure}{.45\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{graphics/wells_noisy.pdf}
\caption{Nombre de puits pour $\alpha$ centré en $\alpha_0 = 3^{-3}$ et $\beta = 3\alpha$.
%\\ a,b,c = ['2.1E+00, 3.0E-02, 7.5E+00', '2.6E+00, 4.1E-02, 5.5E+00', '2.7E+00, 4.2E-02, 5.3E+00', '3.7E+00, 5.2E-02, 3.7E-01']
}
\end{subfigure}
}
\caption{Le couplage résiste au bruit.}
\label{fig:bruit}
\end{figure}
Notre conjecture confirmée, il fallait désormais déterminer si notre modèle était résistant au bruit (toujours pour être en accord avec la théorie de la relativité générale). Pour cela, nous avons ajouté un bruit à la valeur de $\alpha$, en considérant $\alpha = \alpha_0e^{x(t)}$ avec $x(t) \hookrightarrow \mathcal{U}([-\sigma/2,\sigma/2])$, afin de produire de fluctuations aléatoires de la triangulation et donc de la courbure locale. Dans ce nouveau contexte, on observe toujours le même modèle \ref{fig:bruit}, même si ses paramètres peuvent changer drastiquement : le couplage résiste donc au bruit, et l'ordre dans lequel on effectue les \emph{Pachner moves} n'a probablement pas d'influence sur l'évolution de la métrique.
La propriété principale que nous ayons découverte est que la courbure locale dans une boule de rayon $1$ ainsi que le nombre de puits se comporte tous deux comme $t \mapsto ct^ae^{-bt^2}$, que ce soit dans le cas déterministe ou aléatoire. Ce fait est particulièrement intéressant car la décroissance exponentielle ($e^{-bt^2}$) peut être trouvée dans de multiples modèles à travers la physique, pour lesquels la constante $b$ est alors associée à une coupure interne du système. Il paraissait donc naturel que $b$ soit une fonction de $\alpha$. C'est ce que nous avons pu confirmer par une régression \ref{fig:b_fonction_alpha} qui suggère que $1/b$ est proportionnel au logarithme de $\alpha$ (le coefficient de proportionnalité dépendant de la relation entre $\alpha$ et $\beta$), et de même pour l'instant de transition entre la phase de décroissance exonentielle et la phase de fluctuation (\texttt{tmax} sur les graphiques). Le fait que ces constantes soient les mêmes dans le modèle de la courbure et le modèle du nombre de puits confirme de plus l'idée selon laquelle elles sont liées aux paramètres physiques du réseau.
\begin{figure}[h]
\centering
\makebox[\textwidth] {
\begin{subfigure}{1.2\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{graphics/curvature_b_function_3_alpha_equals_beta.pdf}
\caption{Courbure dans une boule de rayon $1$ lorsque $\beta = 3\alpha$}
\end{subfigure}
}
\makebox[\textwidth] {
\begin{subfigure}{1.2\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{graphics/wells_b_function_3_alpha_equals_beta.pdf}
\caption{Nombre de puits lorsque $\beta = 3\alpha$}
\end{subfigure}
}
\caption{Les valeurs $b$ et \texttt{tmax} comme fonctions de $\alpha$}
\label{fig:b_fonction_alpha}
\end{figure}
Toutes nos simulations n'ont cependant pas donnés d'aussi bons résultats que les précédentes : par exemple, nous espérions que le nombre de puits croisse en $t^{1/3}$ (c'est-à-dire $a = 1/3$) puisqu'une autre étude étudiant un couplage entre particules classiques et \emph{Pachner moves} \cite{lattice-gas_simulations_dynamical_geometry_two_dimensions} avait constaté une telle croissance et l'avait démontré formellement sous certaines hypothèses. Il est cependant normal que ces croissances ne soit pas les mêmes car on ne peut pas vraiment faire d'analogie entre les conditions provoquant les \emph{Pachner moves} dans les deux couplages.
Malgré tout, les résultats obtenus restent intéressants et ont ainsi fait l'objet de l'écriture d'un article \cite{qw_triangular_lattice_pm} soumis au journal \href{https://www.sciencedirect.com/journal/theoretical-computer-science}{\textit{Theoretical Computer Science}} dans la section \textit{Theory of Natural Computing}.
\section{Conclusion et perspectives}
\label{sec:conclusion}
J'ai ainsi étendu la marche quantique sur le réseau triangulaire plat à un réseau triangulaire dynamique sujet à des \emph{Pachner moves}, répondant plus ou moins au cahier des charges de mon encadrant. Ce dernier m'a ensuite fait étudier ce marcheur à la fois formellement et numériquement (seule l'étude numérique a cependant donné lieu à des résultats) afin d'obtenir un modèle de son comportement, qu'il s'est ensuite chargé d'interpréter physiquement. Nous avons ainsi observé que la courbure du réseau suit d'abord une loi en $ct^ae^{-bt^2}$ avant de s'annuler, le marcheur se comportant alors que le marcheur quantique sur le réseau triangulaire plat. Ces résultats réminescents de la relativité générale ont donné lieu à l'écriture d'un article que nous espérons voir publié prochainement \cite{qw_triangular_lattice_pm}.
Si l'étude de ce marcheur n'est pas terminée (nous pensons notamment qu'il est possible d'intégrer les \PMs{2}{2} et d'obtenir des équations analytiques en se permettant certaines hypothèses), nous pensons qu'il est déjà possible de le généraliser, par exemple en considérant la propagation de plusieurs particules ou un réseau triangulaire en haute dimension (comme un tétrahèdre) où la courbure gloobale n'est plus constante.
En plus de m'initier au vaste domaine qu'est le calcul naturel, ce stage m'a donc aussi permis de mieux comprendre le monde de la recherche et d'appliquer mes connaissances théoriques à un problème pratique.
\printbibliography
\end{document}
\ No newline at end of file
Supports Markdown
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment