Commit ee812ff6 authored by Quentin Aristote's avatar Quentin Aristote
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finished walker definition and started formal study

parent 8b230e6a
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\tikzstyle{vertex} = [circle, fill = white, draw = black]
\newcommand{\up}{\uparrow}
\newcommand{\down}{\downarrow}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\pgftransformcm{1}{0}{1/2}{sqrt(3)/2}{\pgfpoint{0cm}{0cm}}
\draw (0, 0) -- (-1, 1) ;
\draw (0, 2) -- (1, 1) ;
\draw (-1, 4) -- (-2, 5) ;
\draw (.5, -1) node[below] {0} -- (0, 0) node[vertex] {} -- (0, 1) node[above left] {1} -- (0, 2) node[vertex] {} -- (-.5, 3) node[left] {0} -- (-1, 4) node[vertex] {} -- (-1, 5) node[above right] {1} ;
\draw[->, blue, thick] (-1, 5) to [in = 115, out = -90] (-.5, 3) to [in = 90, out = -65] (0, 1) to [in = 115, out = -90] (.5, -1) ;
\draw [<->] (1, 2) -- (2, 2) ;
\draw (4 + 0, 0) -- (4 + -1, 1) ;
\draw (4 + -1, 4) -- (4 + -2, 5) ;
\draw (4 + .5, 1.5) -- (4 + 1.5, .5) ;
\draw (4 + -.25, 2.5) -- (4 + .125, 2) node[right] {1} -- (4 + .5, 1.5) node[vertex] {} -- (4 + .25, 1.5) node[below] {0} -- (4 + 0, 1.5) ;
\draw (4 + .5, -1) node[below] {0} -- (4 + 0, 0) node[vertex] {} -- (4 + 0, .75) node[below right] {1} -- (4 + 0, 1.5) node[vertex] {} -- (4 + -.25, 2.5) node[vertex] {} -- (4 + -.625, 3.25) node[left] {0} -- (4 + -1, 4) node[vertex] {} -- (4 + -1, 5) node[above right] {1} ;
\draw[->, blue, thick] (4 + -1, 5) to [in = 115, out = -90] (4 + -.5, 3) to [in = 125, out = -63] (4 + .125, 2) to [in = 0, out = -55] (4 + .25, 1.5) to [in = 90, out = 180] (4 + 0, 1) to [in = 115, out = -90] (4 + .5, -1) ;
\end{tikzpicture}
\end{document}
\ No newline at end of file
......@@ -22,12 +22,12 @@
\begin{tikzpicture}
\pgftransformcm{1}{0}{0}{sqrt(3)/2}{\pgfpoint{0cm}{0cm}}
\draw (0,0) -- (1,2) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,w,3)$} -- (2,4) -- (3,2) node[right] {$\widetilde{\psi}(t,w,2)$} -- (4,0) -- (3,-2) node[right] {$\widetilde{t,v,3}$} -- (2,-4) -- (1,-2) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,v,2)$} -- cycle ;
\draw (0,0) -- (1,2) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,w,3)$} -- (2,4) -- (3,2) node[right] {$\widetilde{\psi}(t,w,2)$} -- (4,0) -- (3,-2) node[right] {$\widetilde{\psi}(t,v,3)$} -- (2,-4) -- (1,-2) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,v,2)$} -- cycle ;
\draw (0,0) -- (2,0) node[above] {$\widetilde{\psi}(t,w,1) = \widetilde{\psi}(t,v,1)$} -- (4,0) ;
\draw[->] (5,0) -- (6,0) ;
\draw (7 + 0,0) -- (7 + 1,2) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,w,3)$} -- (7 + 2,4) -- (7 + 3,2) node[right] {$\widetilde{\psi}(t,w,2)$} -- (7 + 4,0) -- (7 + 3,-2) node[right] {$\widetilde{t,v,3}$} -- (7 + 2,-4) -- (7 + 1,-2) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,v,2)$} -- cycle ;
\draw (7 + 0,0) -- (7 + 1,2) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,w,3)$} -- (7 + 2,4) -- (7 + 3,2) node[right] {$\widetilde{\psi}(t,w,2)$} -- (7 + 4,0) -- (7 + 3,-2) node[right] {$\widetilde{\psi}(t,v,3)$} -- (7 + 2,-4) -- (7 + 1,-2) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,v,2)$} -- cycle ;
\draw (7 + 2,4) -- (7 + 2,0) node {$\widetilde{\psi}(t,w,1) = \widetilde{\psi}(t,v,1)$} -- (7 + 2,-4) ;
% \draw (1, .75) node[below left] {$\widetilde{\psi}(t,v,2)$} -- (2, 1.5) -- (3, .75) node[below right] {$\widetilde{\psi}(t,v,3)$} ;
% \draw (2, 1.5) -- (2, 2.75) node[left] {$\widetilde{\psi}(t,v,1)$} -- (2, 4);
......
\documentclass{article}
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\PreviewEnvironment{tikzpicture}
\PreviewEnvironment{equation}
\PreviewEnvironment{equation*}
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\thispagestyle{empty}
\tikzstyle{vertex} = [circle, fill = white, draw = black]
\newcommand{\up}{\uparrow}
\newcommand{\down}{\downarrow}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\pgftransformcm{0}{1}{-sqrt(3)/2}{1/2}{\pgfpoint{0cm}{0cm}}
\draw[->, blue] (.6, 1.5) to [out = 90, in = -50] (-.9, 5.5) ;
\draw[->, blue] (-1.1, 5.5) to [out = 130, in = -50] (-1.9, 9.5) ;
\draw (0, 0) -- (-.5, -.5) node[below right] {1} ;
\draw (2, 0) -- (3, -.5) node[above right] {2} ;
\draw (-1, 4) -- (-2,5) node[below left] {2} ;
\draw (-1, 6) -- (0, 5) node[above right] {2} ;
\draw (-2, 8) -- (-3, 9) node[below left] {2} ;
\draw (0, 2) -- (-.5, 3) node[above] {0} -- (-1, 4) node[vertex] {$w$} -- (-1, 5) node[below] {1} -- (-1, 6) node[vertex] {} -- (-1.5, 7) node[above] {0} -- (-2, 8) node[vertex] {} -- (-2, 9) node[above left] {1} ;
\draw (0, 0) node[vertex] {} -- (1,0) node[right] {0} -- (2, 0) node[vertex] {} -- (1, 1) node[above] {1} -- (0, 2) node[vertex] {$v$} -- (0, 1) node[below] {2} -- cycle ;
\end{tikzpicture}
\end{document}
\ No newline at end of file
......@@ -12,8 +12,8 @@
@article{qw_triangular_lattice,
author = {Arrighi, Pablo and Di Molfetta, Giuseppe and M{\'{a}}rquez-Mart{\'{\i}}n, Iv{\'{a}}n and P{\'{e}}rez, Armando},
title = {Dirac equation as a quantum walk over the honeycomb and triangular lattices},
journal = {Physical Review A},
publisher = {American Physical Society ({APS})},
journal = {Physical Review A},
volume = 97,
number = 6,
year = 2018,
......@@ -27,8 +27,8 @@
@article{qw_triangular_lattice_curved_spacetime,
author = {Arrighi, Pablo and Di Molfetta, Giuseppe and M{\'{a}}rquez-Mart{\'{\i}}n, Iv{\'{a}}n and P{\'{e}}rez, Armando},
title = {From curved spacetime to spacetime-dependent local unitaries over the honeycomb and triangular Quantum Walks},
journal = {Scientific Reports},
publisher = {Springer Science and Business Media {LLC}},
journal = {Scientific Reports},
volume = {9},
number = {1},
year = 2019,
......@@ -39,3 +39,26 @@
eprintclass = {quant-ph}
}
@article{generalized_cayley_graphs_CA,
author = {Arrighi, Pablo and Martiel, Simon and Nesme, Vincent},
title = {Cellular automata over generalized Cayley graphs},
publisher = {Cambridge University Press ({CUP})},
journal = {Mathematical Structures in Computer Science},
volume = 28,
number = 3,
pages = {340--383},
doi = {10.1017/s0960129517000044},
year = 2017,
month = 5,
eprint = {1212.0027},
eprinttype = {arxiv},
eprintclass = {cs.DM}
}
@online{cgd,
author = {Aristote, Quentin},
title = {Dynamiques Causales de Graphes},
url = {https://git.eleves.ens.fr/qaristote/causal-graph-dynamics/blob/master/cgd.pdf},
year = 2019,
month = 6
}
\ No newline at end of file
No preview for this file type
......@@ -21,7 +21,7 @@
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\usepackage{biblatex}
\usepackage[sorting = none, backend = biber]{biblatex}
\addbibresource{rapport.bib}
% ------------------------------ Theorems ------------------------------
......@@ -54,7 +54,7 @@
\title{%
Marche quantique sur un réseau triangulaire sujet à des \emph{Pachner moves}
\footnote{Ce rapport est très similaire l'article éponyme écrit dans le cadre du stage \cite{qw_triangular_lattice_pm}. Tandis que l'article, rédigé en anglais, se concentre sur les résultats obtenus lors du stage et leur mise en perspective dans le contexte actuel de la recherche, le rapport, rédigé en français, détaille aussi les impasses rencontrées et présente les résultats avec un vocabulaire un peu plus abordable.} \\
\footnote{Ce rapport est très similaire l'article éponyme écrit dans le cadre du stage \cite{qw_triangular_lattice_pm}. Tandis que l'article, rédigé en anglais, se concentre sur les résultats obtenus lors du stage et leur mise en perspective dans le contexte actuel de la recherche, le rapport, rédigé en français, détaille les impasses rencontrées et présente les résultats avec un vocabulaire un peu plus abordable.} \\
\vspace{10pt}
\large Rapport de stage de licence effectué sous la tutelle de Giuseppe Di Molfetta}
......@@ -73,12 +73,14 @@ Un automate cellulaire correspond à l'étiquettage des sommets d'un graphe par
Les automates cellulaires quantiques généralisent cette notion à l'informatique et à la physique quantique : les cellules sont désormais dans une superposition d'états, mais l'évolution est toujours locale. De même, les automates cellulaires quantiques permettent d'exécuter n'importe quel algorithme quantique et permettent de simuler l'évolution de systèmes physiques quantiques.
Les marches quantiques sont des automates cellulaires quantiques particuliers : elles décrivent la propagation d'une particule quantique sur une grille. En plus d'être réalisables en pratique (à la différence d'un ordinateur quantique universel), elles permettent de visualiser intuitivement le fonctionnement d'un algorithme quantique : la particule se déplace sur une grille qui encode le problème et converge vers la cellule qui correspond à la solution. Elles permettent aussi de simuler des équations différentielles omniprésentes en physique, toujours de manière intuitive.
Les marches quantiques sont des automates cellulaires quantiques particuliers : elles décrivent la propagation réversible (à partir d'une configuration donnée on peut retrouver la configuration précédente) d'une particule quantique sur une grille. En plus d'être réalisables en pratique (à la différence d'un ordinateur quantique universel), elles permettent de visualiser intuitivement le fonctionnement d'un algorithme quantique : la particule se déplace sur une grille qui encode le problème et converge vers la cellule qui correspond à la solution. Elles permettent aussi de simuler des équations différentielles omniprésentes en physique, toujours de manière intuitive.
L'équipe CaNa (\textit{Ca}lcul \textit{Na}turel) du Laboratoire d'Informatique et Systèmes travaille entre autres sur ces objets, à la frontière entre informatique et physique. Elle a contribué au développement d'un marcheur quantique sur le réseau triangulaire (le plan pavé avec des triangles équilatéraux) qui permet de simuler l'équation de Dirac en $(2 + 1)$ dimensions. L'objectif du stage était d'étendre ce marcheur à un réseau non plus fixé mais dynamique, ce qui n'avait jusqu'ici était fait que pour des automates cellulaires classiques. Plus précisément, le but était de prendre en compte les \emph{Pachner moves}, des transformations de triangulations qui ne changent pas la topologie de la surface triangulée.
% ------------------------------ Table des matières ------------------------------
\newpage
\tableofcontents
% ------------------------------ Corps ------------------------------
......@@ -220,11 +222,11 @@ Ce lemme implique que pour une clique de $n \le 3$ triangles du réseau triangul
\subsubsection{Évolution du marcheur lors des \emph{$1$--to--$3$} et des \emph{$2$--to--$2$ Pachner moves}}
Un \PM{1}{3} peut être vu comme la création de trois nouvelles arêtes à l'intérieur d'un triangle. Il paraît donc logique de ne pas changer la valeur de $\widetilde{\psi}$ sur les anciennes arêtes et de le définir égal à $0$ sur ces nouvelles arêtes (afin de toujours avoir $\norm{\psi}^2 = 1$), comme représenté sur la figure \ref{fig:marcheur_1to3_pm}.
Avec le point de vue des triangulations (et non des graphes), un \PM{1}{3} peut être vu comme la création de trois nouvelles arêtes à l'intérieur d'un triangle. Il paraît donc logique de ne pas changer la valeur de $\widetilde{\psi}$ sur les anciennes arêtes et de le définir égal à $0$ sur ces nouvelles arêtes (afin de toujours avoir $\norm{\psi}^2 = 1$), comme représenté sur la figure \ref{fig:marcheur_1to3_pm}.
\begin{figure}[h]
\centering
\includetikzpicture[width=\linewidth]{walker_1-to-3}
\includetikzpicture[width=.7\linewidth]{walker_1-to-3}
\caption{Évolution du marcheur lors d'un \PM{1}{3}}
\label{fig:marcheur_1to3_pm}
\end{figure}
......@@ -233,8 +235,62 @@ De même, un \PM{2}{2} peut être vu comme une rotation et une déformation des
\begin{figure}[h]
\centering
\includetikzpicture[width=\linewidth]{walker_2-to-2}
\includetikzpicture[width=.7\linewidth]{walker_2-to-2}
\caption{Évolution du marcheur lors d'un \PM{2}{2}}
\label{fig:marcheur_2to2_pm}
\end{figure}
\subsubsection{Évolution du marcheur lors des \PMs{3}{1}}
Les \PMs{3}{1} sont plus compliqués à étendre, car ils suppriment des arêtes. En effet, si les deux extensions précédentes conservent la réversibilité des transformations, il faut nécessairement considérer un nombre infini d'arêtes pour que ce soit aussi vrai pour les \PMs{3}{1}. En effet, si après une telle transformation seules un nombre fini $n$ de coordonées de $\widetilde{\psi}$, alors elle ne peut être injective (on envoie un espace de dimension $2n + 6$ dans un espace de dimension $2n$).
Cela entraîne un problème de localité : un \emph{Pachner move} sur un triangle peut modifier la valeur de $\widetilde{\psi}$ sur un triangle infiniment loin. Pour corriger ce problème, on considère que $\widetilde{\psi}$ est à support fini, c'est-à-dire qu'il est non nul sur un nombre fini d'arêtes. Ainsi, il est possible de trouver une transformation unitaire qui agit sur un nombre infini d'arêtes tout en ne modifiant la valeur de $\widetilde{\psi}$ que sur un nombre fini d'entre elles en pratique, en faisant en sorte que cette transformation soit locale.
Une telle transformation est par exemple une simple translation, comme celle représentée en figure \ref{fig:marcheur_3to1_pm} : si trois triangles forment un $3$-cycle sur lequel on applique un \PM{3}{1}, alors toute composante interne au $3$-cycle, portée par un de ces triangles $v$ sur son $k$-ième côté, est translatée selon le côté de $v$ qui sort du $3$-cycle sur le triangle voisin $w$, puis est de nouveau translatée selon le $k$-ième côté de $w$ pour remplacer la composante portée par le voisin de $w$ sur son $k$-ième côté. La composante remplacée est alors elle aussi translatée selon les mêmes côtés et remplace une autre composante elle même translatée et ainsi de suite.
\begin{figure}[h]
\centering
\includetikzpicture{walker_3-to-1}
\caption{Translation de la composante interne à $v$ sur son premier côté lors d'un \PM{3}{1}}
\label{fig:marcheur_3to1_pm}
\end{figure}
On notera qu'il est physiquement cohérent que les triangles influent ceux à deux arêtes de distance (et non une seule) car la distance géométrique entre les triangles est tout de même de $1$ (les triangles partagent un sommet).
\begin{lemme}
Après un nombre fini de \emph{$1$--to--$3$} et \PMs{3}{1}, toute translation selon deux arêtes comme décrite précédemment ne passe qu'au plus une fois par un triangle du réseau.
\end{lemme}
\begin{proof}
C'est vrai pour le réseau triangulaire plat : effectuer une translation selon deux arêtes revient à effectuer une translation selon un vecteur fixé dans le plan. Ainsi tout triangle ne peut être visité qu'au plus une fois.
Soit désormais un réseau triangulaire pour lequel cette propriété est vraie. Alors elle est toujours vraie après avoir appliqué un \emph{$1$--to--$3$} ou un \PM{3}{1}. En effet, comme on peut le voir sur la figure \ref{fig:pm_et_cycles}, appliquer une telle transformation conserve les cycles parmi les chemins suivis par une translation selon deux arêtes. Si on trouvait ainsi un cycle dans le réseau après l'application du \emph{Pachner move}, alors il serait aussi présent dans le réseau initial puisqu'on peut obtenir celui-ci en appliquant le \emph{Pachner move} inverse. Ainsi il ne peut y avoir de cycle dans le nouveau réseau, donc la propriété est vérifiée.
\begin{figure}[h]
\centering
\includetikzpicture{pachner_moves_and_cycles}
\caption{Les \emph{$1$--to--$3$} et \PMs{3}{1} conservent les cycles.}
\label{fig:pm_et_cycles}
\end{figure}
On obtient finalement le résultat demandé par récurrence.
\end{proof}
Cela signifie notamment que lorsqu'on se restreint aux \emph{$1$--to--$3$} et \PMs{3}{1}, la translation ne modifie $\widetilde{\psi}$ que sur un nombre fini d'arêtes (elle visite au plus une fois chaque triangle et il y a un nombre fini de triangles sur lesquels $\widetilde{\psi}$ est non nul) et qu'elle est réversible : il n'y a pas de cycle donc rien n'est translaté sur les arêtes à supprimer. Une fois la translation terminée, les arêtes internes au $3$-cycle peuvent ainsi être supprimées puisque l'information qu'elles portaient a été envoyée à l'extérieur du $3$-cycle.
Malheureusement, ce résultat n'est pas vrai lorsqu'on autorise les \PMs{2}{2}, puisque ceux-ci peuvent créer des cycles parmi les chemins qui suivent deux arêtes périodiquement. Nous n'avons pas réussi à trouver une translation bien définie lorsque les \PMs{2}{2} sont pris en compte, cependant nous pensons qu'il est quand même possible de les considérer, soit en trouvant une transformation unitaire qui fonctionne, soit en n'autorisant les \PMs{2}{2} que lorsque certaines conditions sont réunies, afin d'empêcher la formation de cycles.
Nous avons donc décidé de nous restreindre aux \emph{$1$--to--$3$} et aux \PMs{3}{1} puisque les \PMs{2}{2} posent aussi problème pour visualiser le réseau triangulaire en trois dimensions.
\subsection{Conditions provoquant les \emph{Pachner moves}}
En pratique, effectuer un \emph{$1$--to--$3$} ou un \PM{3}{1} courbe la métrique, puisque la particule qui se propage doit traverser plus de triangles après un \PM{1}{3} qu'avant pour parcourir une distance fixée. Or, dans la théorie de la relativité générale, c'est la matière elle-même qui courbe ainsi la métrique. En adoptant ce point de vue ici, il est donc naturel de choisir d'effectuer un \PM{1}{3} (créer un puit) sur un triangle $v$ dès lors que la probabilité que la particule s'y situe est supérieure à un seuil $\alpha$ (si $v$ a pour étiquette $(s_1,s_2,s_3)$, dès lors que $\sum_{k = 1}^3\abs{\psi^{s_k}(t,v,k)}^2 > \alpha$) ; et d'effectuer un \PM{3}{1} (supprimer un puit) sur un $3$-cycle dès lors que la probabilité de se trouver dans le puit correspondant est inférieure à un seuil $\beta$ (si $u$ et $v$ partagent leur premier côté, $v$ et $w$ leur deuxième côté et $w$ et $v$ leur troisième côté, on effectue un \PM{3}{1} dès lors que $\norm{\psi(t,u,1)}^2 + \norm{\psi(t,v,2)}^2 + \norm{\psi(t,w,3)}^2 < \beta$).
\section{Équation discrète du marcheur}
Une fois le couplage défini, nous avons d'abord essayé de l'étudier formellement afin de démontrer des résultats mathématiquement. Pour ce faire, nous avons tenté d'écrire l'évolution du marcheur sous la forme d'une équation discrète.
Pour ce faire, il a d'abord fallu changer la façon dont on écrivait $\psi$ : l'exprimer comme une fonction des triangles est en effet peu pratique dès qu'on essaie d'écrire les équations pour les \emph{Pachner moves}. Pour cela, on choisit d'abord un triangle du réseau triangulaire plat comme l'origine. On peut le suivre lorsqu'il est sujet à un \emph{Pachner move} puisqu'un \PM{1}{3} crée toujours un triangle avec la même étiquette que celui auquel on l'a appliqué (ce ne serait plus possible si on considérait aussi les \PM{2}{2}) : ce nouveau triangle devient l'origine. Le graphe associé au réseau peut donc être vu comme un graphe pointé, et ainsi un triangle du réseau peut être vu comme l'ensemble des mots qui correspondent à un chemin de l'origine jusqu'à ce triangle \cite{generalized_cayley_graphs_CA} \footnote{Le lecteur interessé pourra aussi se réferer à mom mémoire écrit dans le cadre de la double licence mathématiques-informatique qui reprends la preuve du bien-fondé de cette définition \cite{cgd}}.
\printbibliography
\end{document}
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